非齐次微分方程特解怎么设,尤其是有共轭复根时,如y''＋y＝sinx的特解设法为y＝x（asinx＋bcosx）为什么,

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/20 11:49:47

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非齐次微分方程特解怎么设,尤其是有共轭复根时,如y''＋y＝sinx的特解设法为
y＝x（asinx＋bcosx）为什么,

非齐次微分方程特解怎么设,尤其是有共轭复根时,如y''＋y＝sinx的特解设法为y＝x（asinx＋bcosx）为什么,
其实就是用了一步欧拉公式,关于具体设法高数里面就有介绍,您肯定非常容易查到,我不重复了.这一步的推导异常简单,只需要通过欧拉公式把带有三角函数的特解形式变换为e指数形式就得到了多项式形式（也就是特征根为非共轭复根的形式）的特解,同理,也能从第一种形式通过欧拉公式变换为第二种形式,实际上这两种形式的特解在本质上一模一样,或者说本身就是同样的式子,可以相互变化.
具体的推导您可以到图书馆借一本任意版本的常微分方程,然后找到高阶非齐次方程的特解这一部分,肯定有我所说的那一步推导,而且即使没有任何专业数学功底也能很简单看懂.
根据我的经验,看一遍这个推导非常有利于记忆,而且万一考试的时候忘记了第二种形式的特解也可以自己推导出来.
如果您看这几布推导依然感觉有问题的话请追问.

y''＋y =0 特征根 r1,r2 = ± i
1. 自由项 f(x) = sinx => A cosx + B sinx
考虑 ± i 是 k=1 重的复数根，故设特解 y* = x^k * ( A cosx + B sinx )
2. 如果自由项 f(x) = sin 2x => A cos 2x + B sin 2x
考虑 ± 2 i 不是特征根，故设特解 y* = A cos 2x + B sin 2x

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