已知函数f(x)=(ax+c)/(x^2+1)的图像过点(-1,-2),且满足f(-x)+f(x)=0.(1)求函数f(x)的单调区间与极值；(2)若P(x0,y0)为函数y=f(x)的图像上任意一点,直线l与函数y=f(x)的图像切于点P,求直线l的斜率k的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 07:48:02
已知函数f(x)=(ax+c)/(x^2+1)的图像过点(-1,-2),且满足f(-x)+f(x)=0.(1)求函数f(x)的单调区间与极值；(2)若P(x0,y0)为函数y=f(x)的图像上任意一点,直线l与函数y=f(x)的图像切于点P,求直线l的斜率k的取值范围
已知函数f(x)=(ax+c)/(x^2+1)的图像过点(-1,-2),且满足f(-x)+f(x)=0.
(1)求函数f(x)的单调区间与极值；
(2)若P(x0,y0)为函数y=f(x)的图像上任意一点,直线l与函数y=f(x)的图像切于点P,求直线l的斜率k的取值范围.
已知函数f(x)=(ax+c)/(x^2+1)的图像过点(-1,-2),且满足f(-x)+f(x)=0.(1)求函数f(x)的单调区间与极值；(2)若P(x0,y0)为函数y=f(x)的图像上任意一点,直线l与函数y=f(x)的图像切于点P,求直线l的斜率k的取值范围
已知函数f(x)=(ax+c)/(x^2+1)的图像过点(-1,-2),且满足f(-x)+f(x)=0.
(1)求函数f(x)的单调区间与极值；
(2)
若P(x0,y0)为函数y=f(x)的图像上任意一点,直线l与函数y=f(x)的图像切于点P,求直线l的斜率k的取值范围.
(1)解析：∵函数f(x)=(ax+c)/(x^2+1)的图像过点(-1,-2),且满足f(-x)+f(x)=0
f(-1)=(-a+c)/2=-2==>a=4+c
f(-x)=(-ax+c)/(x^2+1)=-f(x)=-(ax+c)/(x^2+1)
∴c=0,a=4
∴f(x)=4x/(x^2+1)
f’(x)=(4-4x^2)/(x^2+1)^2=0==>x1=-1,x2=1
∴f(x)在x1处取极小值-2; 在x2处取极大值2;
∴x∈(-∞,-1)U(1,+∞)单调减,x∈[-1,1]单调增
(2)解析：∵f’(x)=(4-4x^2)/(x^2+1)^2
令f’’(x)=[(-8x) (x^2+1)^2-(4-4x^2) 2(x^2+1)2x]/(x^2+1)^4=(8x^5-16x^3-24x)/(x^2+1)^4=0
解得x1=-√3,x2=0,x3=√3
∴f’(x)在x1,x3处取极小值,在x2处取极大值
f’(0)=4,f’(-√3)=f’(√3)=-1/2
∴直线l的斜率k的取值范围[-1/2,4]
f(x)=(ax+c)/(x²+1)经过点(-1,-2)
-2=(-a+c)/((-1)²+1), -2=(c-a)/2, c-a=-4, a=c+4
f(-x)=(a*(-x)+c)/((-x)²+1)=(c-ax)/(x²+1)
f(x)+f(-x)=(ax+c)/(x²+1)+(c-ax)/(x²+1)=2c...
全部展开
f(x)=(ax+c)/(x²+1)经过点(-1,-2)
-2=(-a+c)/((-1)²+1), -2=(c-a)/2, c-a=-4, a=c+4
f(-x)=(a*(-x)+c)/((-x)²+1)=(c-ax)/(x²+1)
f(x)+f(-x)=(ax+c)/(x²+1)+(c-ax)/(x²+1)=2c/(x²+1)=0
c=0, a=4
所以 f(x)=4x/(x²+1)
f'(x)=4((x²+1)-x*2x)/(x²+1)²=4(1-x²)/(x²+1)²
当-1
当x<-1 或 x>1时，f'(x)<0，f(x)单调下降
因此x=-1,f(x)极小=-2；x=1时，f(x)极大=2
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