将边长为a的正方形铁片,在它的四角剪去一个正方形（剪去的四个小正方形全等）然后弯折乘一只无盖的盒子,问剪去的小正方形边长为多少时,制成的盒子容积最大?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/06 08:47:49
将边长为a的正方形铁片,在它的四角剪去一个正方形（剪去的四个小正方形全等）然后弯折乘一只无盖的盒子,问剪去的小正方形边长为多少时,制成的盒子容积最大?
将边长为a的正方形铁片,在它的四角剪去一个正方形（剪去的四个小正方形全等）然后弯折乘一只无盖的盒子,问剪去的小正方形边长为多少时,制成的盒子容积最大?
将边长为a的正方形铁片,在它的四角剪去一个正方形（剪去的四个小正方形全等）然后弯折乘一只无盖的盒子,问剪去的小正方形边长为多少时,制成的盒子容积最大?
小正方形边长b ,盒子底面边长（a-2b）,高b
V = b·（a-2b）^2 =（1/4）·4b·(a-2b）^2 《 （1/4）·{[4b + (a-2b) + (a-2b)]/3}^3 = 2a^3/27 ,当且仅当4b = a-2b ,即b = a/6取等号
均值不等式
设剪去x
V=x(a-2x)^2
=4x(a-2x)^2/4
=[(4x+a-2x+a-2x)/3]^3/4
=2a^3/27
此时a-2x=4x,x=a/6
设为x
则底面边长是a-2x,高x
则容积V=(a-2x)²x
即V=4x³-4ax²+a²x
V'=12x²-8ax+a²=0
x=a/2,x=a/6
显然a/2>a/6
所以xa/2,V'>0,是增函数
a/6
全部展开
设为x
则底面边长是a-2x,高x
则容积V=(a-2x)²x
即V=4x³-4ax²+a²x
V'=12x²-8ax+a²=0
x=a/2,x=a/6
显然a/2>a/6
所以xa/2,V'>0,是增函数
a/6
所以边长是a/6时容积最大
收起
a/3
应该是A/6，将减去的部分设成X，然后体积就a*a*x-4ax*x+4x*x*x，根据导数，可求当x=a/2或a/6时，斜率为零，a/2舍去就可以了