解一道数学几何体在直角梯形ABCD中,角ABC=90 ,AB=BC ,E是AB中点,AD平行于BC,CE垂直与 DB（1）求证：BE=AD.（2）连接AC,求证：AC垂直平分ED.（3）求证：三角形DBC是等腰三角形.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/07 14:18:35
解一道数学几何体在直角梯形ABCD中,角ABC=90 ,AB=BC ,E是AB中点,AD平行于BC,CE垂直与 DB（1）求证：BE=AD.（2）连接AC,求证：AC垂直平分ED.（3）求证：三角形DBC是等腰三角形.
解一道数学几何体
在直角梯形ABCD中,角ABC=90 ,AB=BC ,E是AB中点,AD平行于BC,CE垂直与 DB
（1）求证：BE=AD.
（2）连接AC,求证：AC垂直平分ED.
（3）求证：三角形DBC是等腰三角形.
解一道数学几何体在直角梯形ABCD中,角ABC=90 ,AB=BC ,E是AB中点,AD平行于BC,CE垂直与 DB（1）求证：BE=AD.（2）连接AC,求证：AC垂直平分ED.（3）求证：三角形DBC是等腰三角形.
(1)三角形ADB与三角形BEC全等
（一边两角）所以BE=AD
(2)AD=BE=AE 角DAC=角BAC
所以三角形ADC全等于AEC
所以AC垂直平分ED
(3)因为三角形ADC全等于AEC,以及第一步结论
所以DC=EC=DB 所以成立
（1）.证明三角形ABD全等三角形BCE。
过程：∠BAD=∠CBE=直角。
因为CE垂直与 DB
所以∠BCE+∠DBC=90度
又因为∠ABC是直角
所以∠ABD+∠DBC=90度
所以∠BCE=∠ABD
又因为AB=BC，所以三角形ABD全等三角形BCE。
所以BE=AD。
（2）.连接AC，设AC、DE交点为O，因为...
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（1）.证明三角形ABD全等三角形BCE。
过程：∠BAD=∠CBE=直角。
因为CE垂直与 DB
所以∠BCE+∠DBC=90度
又因为∠ABC是直角
所以∠ABD+∠DBC=90度
所以∠BCE=∠ABD
又因为AB=BC，所以三角形ABD全等三角形BCE。
所以BE=AD。
（2）.连接AC，设AC、DE交点为O，因为∠BAD为直角，AB=BC，所以∠BAC=∠CAD=45度。
由第一小题中的结论BE=AD，又因为E是AB中点，所以AE=AD，又因为AO=AO，∠EAD为直角，所以三角形OEA全等三角形ODA，而且∠AEO=∠ADO=45度，所以OE=OD，而且AO垂直于DE，所以AC垂直平分ED。
（3）.因为∠BAD为直角，AB=BC，所以∠BAC=∠CAD=45度。
由第一小题中的结论BE=AD，又因为E是AB中点，所以AE=AD，又因为AC=AC，所以三角形CEA全等三角形CDA，所以CE=CD，由第一小题可知BD=CE，所以BD=CD，三角形DBC是等腰三角形。
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（1）AD∥BC，知∠ADB=∠DBC
又从直角△EBC中，易知∠BEC=∠DBC
又AB=BC，得直角△BAD≌直角△CBE，得证BE=AD
（2）设DE交AC于O点，由（1）知AE=AD，得∠AEO=∠ADO=45度，
又AB=BC，得∠BAC=45度，即得∠AOE=90度，等腰△AED中，AO⊥ED
所以EO=DO，得证。
...
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（1）AD∥BC，知∠ADB=∠DBC
又从直角△EBC中，易知∠BEC=∠DBC
又AB=BC，得直角△BAD≌直角△CBE，得证BE=AD
（2）设DE交AC于O点，由（1）知AE=AD，得∠AEO=∠ADO=45度，
又AB=BC，得∠BAC=45度，即得∠AOE=90度，等腰△AED中，AO⊥ED
所以EO=DO，得证。
（3） 从（2）中得知EO=DO，又AC⊥ED，则有直角△EOC≌直角△DOC，
得DC=CE，由（1）得CE=DB，得证。
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