如图在直角梯形ABCD中,角ADC等于90度,CD//AB,AB=2,AD=CD=1,将三角形ADC沿AC折起使平面ADC垂直ABC得到几何体D-ABC求几何体D-ABC的体积求二面角D-AB-C的正弦值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/31 14:06:35
如图在直角梯形ABCD中,角ADC等于90度,CD//AB,AB=2,AD=CD=1,将三角形ADC沿AC折起使平面ADC垂直ABC得到几何体D-ABC求几何体D-ABC的体积求二面角D-AB-C的正弦值
如图在直角梯形ABCD中,角ADC等于90度,CD//AB,AB=2,AD=CD=1,将三角形ADC沿AC折起使平面ADC垂直ABC得到几何体D-ABC
求几何体D-ABC的体积
求二面角D-AB-C的正弦值
如图在直角梯形ABCD中,角ADC等于90度,CD//AB,AB=2,AD=CD=1,将三角形ADC沿AC折起使平面ADC垂直ABC得到几何体D-ABC求几何体D-ABC的体积求二面角D-AB-C的正弦值
取AC中点E,连接DE,
取AB中点G,AG中点F,连接CD,EF
（1）
平面时,ABCD是直角梯形,CD||AB
AD=CD
∴△ADC是等腰直角三角形
∴DE⊥AC
∵AB=2,AD=CD=1
∴AC=BC=√2
∴CG⊥AB,EF⊥AB
∴EF=1/2AB=1/2
DE=√2/2
折起后
∵面ADC⊥面ABC
∴DE⊥面ABC
三棱锥D-ABC的体积=1/3*DE*SRt△ACB=1/3*√2/2*1/2*√2*√2=√2/6
（2）
∵DE⊥面ABC
∴DE⊥AB
∵EF⊥AB
∴AB⊥面DEF
∴DF⊥AB
∴∠DFE是二面角D-AB-C的平面角
DF=√(DE^2+EF^2)=√3/2
∴sin∠DFE=DE/DF=√6/3
(1)如左图过C作CH⊥AB于H则CD=AH=2，CH=AD=2∴BH=2 则∠ACH=∠BCH=45° ∴BC垂直AB 如右图∵平面BCA垂直平面ADC且BC⊥AC ∴BC垂直平面ACD ∴三棱锥的体积=1/3×(△ADC的面积×BC) =1/3×1/2×2×2×2根号2 =4倍根号2/3 (2)如左图过D作DM⊥AC 再过M作MN⊥AB，如右图连接DN ∵平面ADC⊥ACB ∴DM⊥平面ACB ∴DM垂直AB 又∵MN⊥AB∴AB⊥平面DMN∴AB⊥DN∴∠DNM是所求的二面角D-AB-C ∵从左图可知，DM=根号2 ，MN=1 ∴在右图直角三角形DMN中∠DMN=90° ∴DN=根号3 ∴sin∠DNM=根号2：根号3=根号6/3