sin(α-β)=sinαsinβ-cosαcosβ是怎么推导出来的,求原理和具体过程RT
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 17:13:27
sin(α-β)=sinαsinβ-cosαcosβ是怎么推导出来的,求原理和具体过程RT
sin(α-β)=sinαsinβ-cosαcosβ是怎么推导出来的,求原理和具体过程
RT
sin(α-β)=sinαsinβ-cosαcosβ是怎么推导出来的,求原理和具体过程RT
设α,β是锐角,作直径AB=1的圆O,C,D是位于AB两侧的圆周上的两点,连结CD,由托勒密定理有
CD•AB=BC•AD＋AC•BD． (*)
(1)设∠CAB=α,∠DAB=β(如图1),则AC=cosα,BC=sinαAD=cosβ,BD=sinβ,CD=sin(α＋β),代入(*)得
sin(α＋β)=sinαcosβ＋cosαsinβ,(1)(2)设∠CAB=α,∠DBA=β,α≥β,AC=cosα,BC=sinα,AD=sinβ,BD=cosβ,CD=cos(α－β),
代入(*)得
cos(α－β)=cosαcosβ＋sinαsinβ,(2)
由诱导公式易见(1),(2)对任意角α,β都成立,若用－β替换(1),(2)中的β,则可得
sin(α－β)=sinαcosβ－cosαsinβ,(3)
cos(α＋β)=cosαcosβ－sinαsinβ．(4)
两角和的余弦公式： cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ； (思路:在直角坐标系的单位圆中，根据两点间的距离公式来推导) 作∠AOD=α，∠BOD=-β，∠AOC=β，∠DOC=β+α。 则B（cosβ，-sinβ）；D（1，0）；A（cosα，sinα）； C[cos（α+β），sin（α+β）]。 ∵ OA=OB=OC=OD=1 ∴ CD=AB。 ∵ CD2=[cos（α+β）...
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两角和的余弦公式： cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ； (思路:在直角坐标系的单位圆中，根据两点间的距离公式来推导) 作∠AOD=α，∠BOD=-β，∠AOC=β，∠DOC=β+α。 则B（cosβ，-sinβ）；D（1，0）；A（cosα，sinα）； C[cos（α+β），sin（α+β）]。 ∵ OA=OB=OC=OD=1 ∴ CD=AB。 ∵ CD2=[cos（α+β）-1] 2+[ sin（α+β）-0] 2； =cos2（α+β）- 2cos（α+β）+1 + sin2（α+β）； =2-2 cos（α+β）。 AB2=（cosα-cosβ）2+ （sinα+sinβ）2； =cos2α-2cosαcosβ+cos2β+sin2α+2sinαsinβ+ sin2β； =2-2[cosαcosβ- sinαsinβ]。 ∴ 2-2 cos（α+β）=2-2[cosαcosβ- sinαsinβ]。 ∴ cos（α+β）=cosαcosβ- sinαsinβ
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