三棱锥S-ABC中,一条棱长为a ,其余棱长均为1,求a为何值时三棱锥的体积最大,并求出最大值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/28 14:00:10
三棱锥S-ABC中,一条棱长为a ,其余棱长均为1,求a为何值时三棱锥的体积最大,并求出最大值.
三棱锥S-ABC中,一条棱长为a ,其余棱长均为1,求a为何值时三棱锥的体积最大,并求出最大值.
三棱锥S-ABC中,一条棱长为a ,其余棱长均为1,求a为何值时三棱锥的体积最大,并求出最大值.
6^(1/2)/12*(d/3)^3
d为地面周长
可以这样来想
V三棱锥=1/3底面积*高
我们可以抓住一个不变的量，找出两个可变的量之间的关系。
现在，既然三棱锥所有棱里只有一条不知道，我们可以先用已知的棱来作出不变量。
以三条长度为1的棱所围成的正三角形为底，这样，地面积就是不变量，为√3/4
通过体积公式可知，要求体积最大，只需找出高最大是多少就可以了。
当另两条长度为1的棱所确定的平面与底面...
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可以这样来想
V三棱锥=1/3底面积*高
我们可以抓住一个不变的量，找出两个可变的量之间的关系。
现在，既然三棱锥所有棱里只有一条不知道，我们可以先用已知的棱来作出不变量。
以三条长度为1的棱所围成的正三角形为底，这样，地面积就是不变量，为√3/4
通过体积公式可知，要求体积最大，只需找出高最大是多少就可以了。
当另两条长度为1的棱所确定的平面与底面垂直的时候高最大。
可求出a=√2 V=√6/12
收起
a
|\
| \ e
| \
|---\-------b
c d
可以把正三角型所形成的面当成底，这样棱长为a的棱和高形成的切面如图，ab为棱长为a的棱，ac为高，bd为底面
因为地面是正三角型；所以S＝（1/2）*1*（√3/2）＝√3/4
做辅助线DE垂直AB，得出三角形bed和三角形bca相似
所以ed/db...
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a
|\
| \ e
| \
|---\-------b
c d
可以把正三角型所形成的面当成底，这样棱长为a的棱和高形成的切面如图，ab为棱长为a的棱，ac为高，bd为底面
因为地面是正三角型；所以S＝（1/2）*1*（√3/2）＝√3/4
做辅助线DE垂直AB，得出三角形bed和三角形bca相似
所以ed/db＝ac/ab 即√（1-(a/2)^2)/1=h/a
得出h＝a*√（1-(a/2)^2)
所以V=(1/3)*(√3/4)*(a*√（1-(a/2)^2))
=(√3/12)*a*(1/2)*√(4-a^2)
=(√3/24)√(4a^2-a^4)
=(√3/24)√[4-(4-4a^2+a^4)]
=(√3/24)√[4-(2-a^2)^2]
因为只有√[4-(2-a^2)^2]最大时，V才最大。
当(2-a^2)^2＝0时，√[4-(2-a^2)^2]才最大；
即a＝√2时，V为√3/12；
所以a＝√2时，三棱锥体积最大，体积为√3/12；
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