几何模型：条件：如图,A、B是直线l同旁的两个定点.在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.方法：几何模型：条件：如图,A、B是直线l同旁的两个定点.在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.方法：
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/21 22:05:03
几何模型：条件：如图,A、B是直线l同旁的两个定点.在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.方法：几何模型：条件：如图,A、B是直线l同旁的两个定点.在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.方法：
几何模型：条件：如图,A、B是直线l同旁的两个定点.在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.方法：
几何模型：条件：如图,A、B是直线l同旁的两个定点.
在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.
方法：做点A关于直线l的对称点A’,连接A’B叫l与点P,则PA+PB=A’B的最小值（不用证明）
模型应用：
（1）
如图1,正方形ABCD的变长为2,E是AB的中点,P是AC上一动点,连接BD,由正方形的对称性可知,B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P,则PB+PE的最小值是____；
（2）
如图2.⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上一动点,求PA+PC的最小值；
（3）
如图3,∠AOB=45°,P是∠AOB内一点,PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点,求△PQR周长的最小值.（所有作图保留作图痕迹）
几何模型：条件：如图,A、B是直线l同旁的两个定点.在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.方法：几何模型：条件：如图,A、B是直线l同旁的两个定点.在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.方法：
⑴∵点B关于AC对称的点为D,
∴此时BP＝DP,
∴BP＋EP＝DP＋EP,
当点E、D、P不共线时,有DP＋EP＞ED,
当点E、D、P共线时,有DP＋EP＝ED,
∴DP＋EP≥ED,
∴连结ED,与AC的交点就是所要求的点P,
ED＝√(AD^2＋AE^2)＝√(4＋1)＝√5,
即BP＋EP的最小值为√5；
⑵设点A关于直线OB的对称点为D,则DO⊥OB,DP＝AP,
∴PA＋PC＝PD＋PC,
由∠AOC＝60°知∠DOC＝120°,
当点C、D、P不共线时,PD＋PC＞CD,
当点C、D、P共线时,PD＋PC＝CD,
∴PD＋PC≥CD,
过O作CD的垂线,垂足为E,则Rt△OEC与Rt△OED全等,
且∠DOE＝∠COE＝60°,
又OC＝OD＝2,
∴OE＝1,
∴CE＝DE＝√3,
CD＝2√3,
即PA＋PC的最小值为2√3；
⑶设点P关于直线OA、OB的对称点分别为P1、P2,
则PQ＝QP1,PR＝RP2,
∴△PQR的周长PQ＋PR＋QR＝QP1＋RP2＋QR,
连结P1P2,
当P1、P2、Q、R不共线时,QP1＋RP2＋QR＞P1P2,
当P1、P2、Q、R共线时,QP1＋RP2＋QR＝P1P2,
∴QP1＋RP2＋QR≥P1P2,
连结OP1、OP2,则OP1＝OP2＝OP＝10,
∴∠P1OA＝∠AOP,∠P2OB＝∠BOP,
∴∠P1OP2＝∠P1OA＋∠AOP＋∠P2OB＋∠BOP
＝2(∠AOP＋∠BOP)＝90°,
∴△P1OP2为等腰直角三角形,
∴P1P2＝10√2,
∴△PQR的周长PQ＋PR＋QR最小值为10√2.