求一个常微分方程的解v是一个做直线运动的质点的速度,x是位置,t是时间.C1 C2 C3是常数.求下面微分方程的解.C3小于零,C1 C2都大于零.x0=0,v0=0.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 13:45:26
求一个常微分方程的解v是一个做直线运动的质点的速度,x是位置,t是时间.C1 C2 C3是常数.求下面微分方程的解.C3小于零,C1 C2都大于零.x0=0,v0=0.
求一个常微分方程的解
v是一个做直线运动的质点的速度,x是位置,t是时间.C1 C2 C3是常数.求下面微分方程的解.C3小于零,C1 C2都大于零.x0=0,v0=0.
求一个常微分方程的解v是一个做直线运动的质点的速度,x是位置,t是时间.C1 C2 C3是常数.求下面微分方程的解.C3小于零,C1 C2都大于零.x0=0,v0=0.
两边乘以v,得
dv=(c1*x+c2+c3*v)dt,
所以
dv/dt=c1*x+c2+c3*v,
由速度的定义知v=dx/dt,代入得
d^2(x)/dt^2=c1*x+c2+c3*dx/dt,
即
d^2(x)/dt^2-c3*dx/dt-c1*x=c2.
令y=x+c2/c1,则
d^2(y)/dt^2-c3*dy/dt-c1*y=d^2(x)/dt^2-c3*dx/dt-c1*x-c2=c2-c2=0.
用特征函数法解之,令c为c3^2+4c1的平方根,得
y=a1*exp(t(c+c3)/2)+a2*exp(-t(c-c3)/2),
其中a1,a2为常数.
所以
x=y-c2/c1=a1*exp(t(c+c3)/2)+a2*exp(-t(c-c3)/2)-c2/c1,
v=dx/dt=a1*(c+c3)/2*exp(t(c+c3)/2)-a2*(c-c3)/2*exp(-t(c-c3)/2).
代入初始值x0=0,v0=0,得
a1+a2-c2/c1=0,
a1*(c+c3)/2-a2*(c-c3)/2=0.
解之得
a1=c2/c1*(c-c3)/2c,
a2=c2/c1*(c+c3)/2c.
代入得最终结果（注意到c^2-c3^2=4c1）
x=c2/c1*(c-c3)/2c*exp(t(c+c3)/2)+c2/c1*(c+c3)/2c*exp(-t(c-c3)/2)-c2/c1,
v=c2/c*exp(t(c+c3)/2)-c2/c*exp(-t(c-c3)/2),
其中c为c3^2+4c1的平方根.
可再代入原方程验证知这确实是正确的解