要做一个上下均有底的圆柱形铁桶,规定其体积为V（定值）,问底半径多大时,才能使其表面积最小,并求此最小的表面积.如题,是同济高数书上的课后习题.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 07:30:27
要做一个上下均有底的圆柱形铁桶,规定其体积为V（定值）,问底半径多大时,才能使其表面积最小,并求此最小的表面积.如题,是同济高数书上的课后习题.
要做一个上下均有底的圆柱形铁桶,规定其体积为V（定值）,问底半径多大时,才能使其表面积最小,并求此最小的表面积.如题,是同济高数书上的课后习题.
要做一个上下均有底的圆柱形铁桶,规定其体积为V（定值）,问底半径多大时,才能使其表面积最小,并求此最小的表面积.如题,是同济高数书上的课后习题.
设底圆半径为R,高为h
则 V=Pi*R*R*h
h=V/(Pi*R*R)
设表面积为S
则 S=2*Pi*R*R+2*Pi*R*h
=2*Pi*R(R+h)
将h=V/(Pi*R*R)代入上式,得到
S=2*Pi*R[R+V/(Pi*R*R)]
=2*Pi*R*R+2*V/R
这样,S就可以表示为关于R的函数,R的取值范围为（0,+无穷）,上式对R取一阶导数得到：
S'=4*Pi*R-2*V/(R*R)
因为要找S的极值点,故令
S'=4*Pi*R-2*V/(R*R)=0
解得：
R=3次根号下[V/(2*Pi)]
此时
S=2*Pi*R*R+2*V/R
=3*3次根号下(2*Pi*V*V)
设底面半径为r高为h,由题意得，V=sh=πr^2h,所以 h=V/（πr^2）
表面积S=2s底+s侧=2πr^2+2πrh=2πr^2+2πrV/（πr^2）=2πr^2+(2V/r)
=2πr^2+(V/r)+(V/r)
≥3倍的三次根号下(2πr^2)*(V/r)*(V/r)=3倍的三次根号下2πV^2
全部展开
设底面半径为r高为h,由题意得，V=sh=πr^2h,所以 h=V/（πr^2）
表面积S=2s底+s侧=2πr^2+2πrh=2πr^2+2πrV/（πr^2）=2πr^2+(2V/r)
=2πr^2+(V/r)+(V/r)
≥3倍的三次根号下(2πr^2)*(V/r)*(V/r)=3倍的三次根号下2πV^2
当且仅当2πr^2=V/r 即r=三次根号下V/2π时等号成立
此最小的表面积为3倍的三次根号下2πV^2
收起