三角形中线公式怎么推导出来的
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/13 04:37:26
三角形中线公式怎么推导出来的
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三角形中线公式怎么推导出来的
若AD是△ABC的中线,则有：AD＝（1/2）√（2AB^2＋2AC^2－BC^2）.
利用勾股定理推导.
过A作AE⊥BC,垂足为E.
一、当D、E重合时,则有：AB＝AC、BD＝BC/2.
由勾股定理,有：AD^2＝AB^2－BD^2＝AB^2－BC^2/4＝（1/4）（4AB^2－BC^2）,
∴AD＝（1/2）√（4AB^2－BC^2）＝（1/2）√（2AB^2＋2AC^2－BC^2）.
二、当E在线段CD上时,
由勾股定理,有：AE^2＝AB^2－BE^2、AE^2＝AC^2－CE^2,
∴2AE^2＝AB^2＋AC^2－BE^2－CE^2＝AB^2＋AC^2－（BD＋DE）^2－（CD－DE）^2,
∴2AE^2＝AB^2＋AC^2－BD^2－2BD×DE－DE^2－CD^2＋2CD×DE－DE^2,
而BD＝CD＝BC/2,
∴2AE^2＝AB^2＋AC^2－2（BC/2）^2－2DE^2＝AB^2＋AC^2－BC^2/2－2DE^2.
再由勾股定理,有：AE^2＝AD^2－DE^2,代入上式中,得：
2AD^2－2DE^2＝AB^2＋AC^2－BC^2/2－2DE^2,
∴4AD^2＝2AB^2＋2AC^2－BC^2,
∴AD＝（1/2）√（AB^2＋AC^2－BC^2）.
三、考虑到对称性,当E在线段BD上时,公式也是的.
四、当E在BC的延长线时,
（因时间关系,这留给你尝试着证明它,若有困难,则请你追加说明,本人在你需要时将继续给你写出证明过程.希望不需要啊!）
五、考虑到对称性,若能证得E在BC的延长线时公式成立,则E在CB的延长线时也是成立的.
综上所述,无论是什么三角形,公式都成立.