已知A为n阶方阵且A^2=A,求A的全部特征值.已知矩阵A=-1 1 0-2 2 04 X 1能对角化,求X并计算A^n(n>=1)

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/08 03:34:44

已知A为n阶方阵且A^2=A,求A的全部特征值.已知矩阵A=-110-2204X1能对角化,求X并计算A^n(n>=1)已知A为n阶方阵且A^2=A,求A的全部特征值.已知矩阵A=-110-2204X

已知A为n阶方阵且A^2=A,求A的全部特征值.已知矩阵A=-1 1 0-2 2 04 X 1能对角化,求X并计算A^n(n>=1)
已知A为n阶方阵且A^2=A,求A的全部特征值.
已知矩阵A=-1 1 0
-2 2 0
4 X 1
能对角化,求X并计算A^n(n>=1)

已知A为n阶方阵且A^2=A,求A的全部特征值.已知矩阵A=-1 1 0-2 2 04 X 1能对角化,求X并计算A^n(n>=1)
1.设 a为矩阵A的特征值,X为对应的非零特征向量.
则有 AX = aX.
aX = AX = A^2X = A(AX) = A(aX) = aAX = a(aX) = a^2X,
(a^2 - a)X = 0,
因X为非零向量,所以.
0 = a^2 - a = a(a-1),
a = 0或1.
2.
|A-λE|=
|-1-λ 1 0 |
| -2 2-λ 0 |
| 4 X 1-λ |(沿最后一列展开)
= (1-λ)((-1-λ)(2-λ)+2)
=-λ(λ-1)^2
因为A可对角化,所以2重特征值λ=1必有2个线性无关的特征向量
即 R(A-E)=1.
A-E =
-2 1 0
-2 1 0
4 X 0
所以 x =-2 (第1,2列必须成比例).

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