函数的单调性的判断,定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m,n,总有f（m+n）=f（m）•f（n）,且当x＞0时,0＜f（x）＜1．（1）试求f（0）的值；（2）判断f（x）的单调性并证明你的结论；
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/09 10:12:58
函数的单调性的判断,定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m,n,总有f（m+n）=f（m）•f（n）,且当x＞0时,0＜f（x）＜1．（1）试求f（0）的值；（2）判断f（x）的单调性并证明你的结论；
函数的单调性的判断,
定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m,n,总有f（m+n）=f（m）•f（n）,且当x＞0时,0＜f（x）＜1．
（1）试求f（0）的值；
（2）判断f（x）的单调性并证明你的结论；
（1）令m=1,n=0则f（1）=f（1）•f（0）又0＜f（1）＜1∴f（0）=1
（2）设x＜0则-x＞0∴0＜f（-x）＜1而f(x)＝f(0)/ f(−x)=1/f(−x)
∴f（x）＞1即对任意x∈R有f（x）＞0
设x1＞x2则 x1-x2＞0,∴0＜f（x1-x2）＜1
于是f(x1) /f(x2)＝f(x1−x2)＜1∴f（x1）＜f（x2）
所以,函数f（x）在R上单调递减
为什么要先证明“对任意x∈R有f（x）＞0”,能不能跳过这个步骤,直接去证明函数的单调性?
函数的单调性的判断,定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m,n,总有f（m+n）=f（m）•f（n）,且当x＞0时,0＜f（x）＜1．（1）试求f（0）的值；（2）判断f（x）的单调性并证明你的结论；
f(x1) /f(x2)＝f(x1−x2)＜1
∴f（x1）＜f（x2）
这一步需要全是正数,举个反例
2/-1＜1 但2＞-1
不能。要证明函数在R上的单调性，题目中只给出了x>0的情况，而x<0的情况是未知的。
如果当x<0时，f(x)<0，那么后面的步骤就不成立了。
楼主，在证明函数的单调性的时候，有一个隐含的前提。那就是判断函数单调性的前提就是，函数的定义域必须是对称的。没有这个前提，那么函数的奇偶性也就无从讨论了。所以此题要先证明，定义域是全体实数。
答：不能跳过，必须证明对任意的实数都有F(X)>0，因为题目只给出了f（m+n）=f（m）•f（n），单调性也必须利用这个式子来解决，而利用除法必须保证分母是正数，不等式才不会变号。这样说你可能明白？
当对任意x∈R，有f(x)>0，则f(x2)>0,
因此对于f(x1)/f(x2)<1，两边同乘以f(x2)，才有f(x1)
因为，如果不证明f(x)>0, 就不能由f(x1) /f(x2)＝f(x1−x2)＜1导出f（x1）＜f（x2），因为所有负数都小于1，如果f(x1) /f(x2)＝f(x1−x2)＜1，f(x1-x2)<0, 只能得出f(x1)与f(x2)异号的结论，不能说f（x1）＜f（x2）。
有一些是固定的格式
加上吧