已知定义在R上的函数f(x)以4为周期,f(x)=m√(1-x^2),x∈(-1,1]；f(x)=1-｜x-2｜,x∈(1,3],其中m>0若方程3f(x)=x恰有3个实数解,求m的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 16:22:25
已知定义在R上的函数f(x)以4为周期,f(x)=m√(1-x^2),x∈(-1,1]；f(x)=1-｜x-2｜,x∈(1,3],其中m>0若方程3f(x)=x恰有3个实数解,求m的取值范围
已知定义在R上的函数f(x)以4为周期,f(x)=m√(1-x^2),x∈(-1,1]；f(x)=1-｜x-2｜,x∈(1,3],其中m>0
若方程3f(x)=x恰有3个实数解,求m的取值范围
已知定义在R上的函数f(x)以4为周期,f(x)=m√(1-x^2),x∈(-1,1]；f(x)=1-｜x-2｜,x∈(1,3],其中m>0若方程3f(x)=x恰有3个实数解,求m的取值范围
f(x)=m√(1-x^2),x∈(-1,1]是椭圆的上半圆,而直线 y= x/3 通过椭圆的中心(0,0)
所以,直线 y= x/3 必然与椭圆的上半圆相交,不论m的值,即
f(x) = x/3 在[0,1]上有且只有一个解.
在(1,2]上,f(x)= 1- (2-x) = x-1, 所以 x-1=x/3 解得 x=3/2
在(2,3]上,f(x)= 1- (x-2) = 3-x, 所以 3-x=x/3 解得 x=9/4 .
在x3区域不与 f(x)相交.
因为 1-｜x-2｜的最大值为1,而y= x/3 在x>3区域是>1 的,所以,
直线y= x/3 不可能与f(x) 的这一部分相交.
而 f(x)是周期的,直线y= x/3是单调增加的,所以,只要保证
直线y= x/3 在 (3,5]不与f(x)相交即可.
在(3,5],f(x)的方程为 f(x)=m√[1-(x-4)^2], （周期为4）
所以,极限情况是 直线y= x/3 与 f(x)相切,如果,m再大就会有两个以上交点在(3,5]上.
当直线y= x/3与f(x)=m√[1-(x-4)^2] 相切时,设切点为(x0,y0),则
y0=x0/3 且 y0=m√[1-(x0-4)^2],
因为切点在直线y= x/3和椭圆上,而椭圆的切线斜率为 m(4-x0) / √[1-(x0-4)^2] = 1/3
所以,三个方程,三个未知数,先消去y0,有：
x0=3m√[1-(x0-4)^2],1/3=m(4-x0) / √[1-(x0-4)^2]
两式相除,得：3x0=3[1-(x0-4)^2]/(4-x0),
解得：x0=15/4,
最后,得：m=√(5/3)
所以,最后,当0