求解微分方程(1+X平方)y‘-2xy=1+x平方的通解

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2025/01/25 08:27:45

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求解微分方程(1+X平方)y‘-2xy=1+x平方的通解

求解微分方程(1+X平方)y‘-2xy=1+x平方的通解
套公式吧
一般情况下：
y'+p(x)y=q(x)
那么其解的公式为：
y=e^[-∫p(x)dx]{∫q(x)*e^[∫p(x)dx]dx+C}
将原方程变形得
y'-2x/(1+x^2)y=1
p(x)=-2x/(1+x^2),q(x)=1
原方程的通解是
y=e^[-∫p(x)dx]{∫q(x)*e^[∫p(x)dx]dx+C}
=e^[∫2x/(1+x^2)dx]{∫e^[-∫2x/(1+x^2)dx]dx+C}
=(1+x^2)*{∫1/(1+x^2)dx+C}
=(1+x^2)*[arctanx+C]

(1+x²) y' - 2x y = 1 + x² 两端同时除以 (1+x²)², 得：
[ (1+x²)y'- 2x y ] /(1+x²)² = 1/(1+x²)
令 z = y/(1+x²), 即： z ' = 1/(1+x²)
=> z = arctanx + C1
=> y = (1+x²)[ arctanx + C1]

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