已知:三角形的三条边长分别为a,b,c.并且满足"a的平方+b的平方+c的平方=ab+bc+ca"试判断此三角形的形状.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 11:25:31
已知:三角形的三条边长分别为a,b,c.并且满足"a的平方+b的平方+c的平方=ab+bc+ca"试判断此三角形的形状.
已知:三角形的三条边长分别为a,b,c.并且满足"a的平方+b的平方+c的平方=ab+bc+ca"试判断此三角形的形状.
已知:三角形的三条边长分别为a,b,c.并且满足"a的平方+b的平方+c的平方=ab+bc+ca"试判断此三角形的形状.
等边三角形
证明:
a的平方+b的平方+c的平方=ab+bc+ca
2×a的平方+2×b的平方+2×c的平方=2ab+2bc+2ca
2×a的平方+2×b的平方+2×c的平方-2ab-2bc-2ca＝0
（a-b）的平方+（b-c）的平方+（a-c）的平方＝0
a-b=0,b-c=0,a-c=0
a=b,b=c,a=c
a=b=c
2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca
(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
所以(a-b)^2=0,(b-c)^2=0,(c-a)^2=0
a-b=0,b-c=0,c-a=0
a=b=c
是等边三角形
因为a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac,
所以2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0,
所以(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0,
因为(a-b)^2≥0,(b-c)^2≥0,(a-c)^2≥0,
所以(a-b)^2=0,(b-c)^2=0,(a-c)^2=0,
所以a-b=0,b-c=0,a-c=0,
所以a=b=c,
所以此三角形是正三角形.
a^2-ab+b^2-bc+c^2-ca=0
1/2*(2a^2-2ab+2b^2-2bc+2c^2-2ca)=0
a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2=0
(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0
所以a=b=c
三角形为等边三角形
等边三角形。
等边三角形！（^为平方的意思）
a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca(方程俩边都乘以2得)
2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca（移项得）
a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2=0
即
（a-b）^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
所以
a-b=0，b-c=0，a-c=0
a=b
b=c
c=a
为等边三角形！