求证：锐角三角形三个角的余弦值之和小于等于2分之三
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 13:10:52
求证：锐角三角形三个角的余弦值之和小于等于2分之三
求证：锐角三角形三个角的余弦值之和小于等于2分之三
求证：锐角三角形三个角的余弦值之和小于等于2分之三
解析,设三角形ABC为锐角三角形,那么A+B+C=180º,且0º＜A,B,C＜90º.
cosA+cosB+cosC
=2cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]+cos[180º-(A+B)]
=2cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2-cos²[(A+B)/2]+1
=2cos[(A+B)/2]*{cos[(A-B)/2-cos[(A+B)/2]*}+1
=4sin(C/2)*sin(A/2)*sin(B/2)+1
≤4*{sin(C/2)+sin(A/2)+sin(B/2)}³/27+1,
当且仅当,sin(C/2)=sin(A/2)=sin(B/2),也就是A=B=C=60º时取等号,
那么,cosA+cosB+cosC≤4*{sin(C/2)+sin(A/2)+sin(B/2)}³/27+1=3/2,
因此,cosA+cosB+cosC≤3/2.
锐角三角形三个角的余弦值之和小于等于2分之三三角形ABC为锐角三角形，那么A+B+C=180º，且0º＜A,B,C＜90º。
cosA+cosB+cosC
=2cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]+cos[180º-(A+B)]
=2cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2-cos²[(A+B)/2]+...
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锐角三角形三个角的余弦值之和小于等于2分之三三角形ABC为锐角三角形，那么A+B+C=180º，且0º＜A,B,C＜90º。
cosA+cosB+cosC
=2cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]+cos[180º-(A+B)]
=2cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2-cos²[(A+B)/2]+1
=2cos[(A+B)/2]*{cos[(A-B)/2-cos[(A+B)/2]*}+1
=4sin(C/2)*sin(A/2)*sin(B/2)+1
≤4*{sin(C/2)+sin(A/2)+sin(B/2)}³/27+1，
当且仅当，sin(C/2)=sin(A/2)=sin(B/2)，也就是A=B=C=60º时取等号，
那么，cosA+cosB+cosC≤4*{sin(C/2)+sin(A/2)+sin(B/2)}³/27+1=3/2，
因此，cosA+cosB+cosC≤3/2。
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