已知A（4,0）,B（0,4）,从点P（2,0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上,最后竟直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是

已知A（4,0）,B（0,4）,从点P（2,0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上,最后竟直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是
已知A（4,0）,B（0,4）,从点P（2,0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上,最后竟直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是

已知A（4,0）,B（0,4）,从点P（2,0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上,最后竟直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是
设光线与AB的交点为C,与OB的交点为D,连接CP,DP,延长CD、BO交于点P',过A作OA的垂线交DC延长线于P'',过D作BO的垂线交AB于Q,过C作AB的垂线交AO于N,连接PP''
根据光线的反射原理可知DQ为∠CDP的平分线,故有∠QDC=∠QDP,而因为QD⊥OB,且坐标系中必有AO⊥BO,所以DQ‖OA,根据平行线的性质有∠QDC=∠CP'A,∠QDP=∠DPO,所以有∠CP'A=∠DPO,而在△DOP'与△DOP中,显然有∠DOP'=∠DOP=90度,而OD为公共边,所以有△DOP'≌△DOP,P'D=DP,P'O=PO=2
同理,由光的反射原理有NC平分∠DCP,∠NCD=∠NCP的结论,而根据A(4,0),B(0,4)可算出AB斜率为-1,从而由图中得出∠BAO=45度,而P''A⊥OA,∠P''AO=90度,于是有∠P''AB=45度,所以∠BAO=∠P''AC,由所作辅助线知NC⊥AB,所以有∠NCP+∠PCA=90度,于是∠DCN+∠P''CA=180度-90度=90度,所以∠PCA=∠P''CA,于是在△ACP和△ACP''中,有两对角相等,且有一对公共边,两个三角形全等,所以有P''A=PA=(OA-OP)=4-2=2,P''C=PC
光线所经过的路程等于PC+CD+DP=P''C+CD+DP'=P'P'',在Rt△P'AP''中,P''A已求为2,P'A=P'0+OA=2+4=6,所以用勾股定理可得P'P''=√(2^+6^)=2√10

P关于AB的对称点为P1（4,2）,P1关于x=0的对称点为P2（-4,2）.

PP2方程：y＝-（x-2）/3.F（0,2/3）.FP1方程：y＝（x+2）/3。E（2.5,1.5）

光线所经过的路程是 P（2,0）→E（2.5,1.5）→F（0,2/3）→P（2,0）

三角形相似

P关于AB的对称点为P1（4,2）,P1关于x=0的对称点为P2（-4,2）.
PP2方程：y＝-（x-2）/3.F（0,2/3）.FP1方程：y＝（x+2）/3。E（2.5,1.5）
光线所经过的路程是 P（2,0）→E（2.5,1.5）→F（0,2/3）→P（2,0）
设光线与AB的交点为C，与OB的交点为D，连接CP，DP，延长CD、BO交于点P',过A作OA的垂线...

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P关于AB的对称点为P1（4,2）,P1关于x=0的对称点为P2（-4,2）.
PP2方程：y＝-（x-2）/3.F（0,2/3）.FP1方程：y＝（x+2）/3。E（2.5,1.5）
光线所经过的路程是 P（2,0）→E（2.5,1.5）→F（0,2/3）→P（2,0）
设光线与AB的交点为C，与OB的交点为D，连接CP，DP，延长CD、BO交于点P',过A作OA的垂线交DC延长线于P''，过D作BO的垂线交AB于Q，过C作AB的垂线交AO于N，连接PP''
根据光线的反射原理可知DQ为∠CDP的平分线，故有∠QDC=∠QDP，而因为QD⊥OB，且坐标系中必有AO⊥BO，所以DQ‖OA,根据平行线的性质有∠QDC=∠CP'A,∠QDP=∠DPO,所以有∠CP'A=∠DPO，而在△DOP'与△DOP中，显然有∠DOP'=∠DOP=90度，而OD为公共边，所以有△DOP'≌△DOP，P'D=DP,P'O=PO=2
同理，由光的反射原理有NC平分∠DCP，∠NCD=∠NCP的结论，而根据A(4,0),B(0,4)可算出AB斜率为-1，从而由图中得出∠BAO=45度，而P''A⊥OA，∠P''AO=90度，于是有∠P''AB=45度，所以∠BAO=∠P''AC,由所作辅助线知NC⊥AB,所以有∠NCP+∠PCA=90度，于是∠DCN+∠P''CA=180度-90度=90度，所以∠PCA=∠P''CA,于是在△ACP和△ACP''中，有两对角相等，且有一对公共边，两个三角形全等，所以有P''A=PA=(OA-OP)=4-2=2,P''C=PC
光线所经过的路程等于PC+CD+DP=P''C+CD+DP'=P'P'',在Rt△P'AP''中，P''A已求为2，P'A=P'0+OA=2+4=6,所以用勾股定理可得P'P''=√(2^+6^)=2√10

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