证明 自然数集的幂集的基数等于全体实数R的基数我是实变函数与泛函分析的初学者,麻烦简单一点就可以了!

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/13 05:09:09
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证明 自然数集的幂集的基数等于全体实数R的基数我是实变函数与泛函分析的初学者,麻烦简单一点就可以了!
证明 自然数集的幂集的基数等于全体实数R的基数
我是实变函数与泛函分析的初学者,麻烦简单一点就可以了!

证明 自然数集的幂集的基数等于全体实数R的基数我是实变函数与泛函分析的初学者,麻烦简单一点就可以了!
首先,tan(π(2x-1)/2)给出了(0,1)到R的双射,因此二者基数相等.
只需证明自然数集N的幂集P(N)与(0,1)基数相等.
直接构造双射比较困难,所以借助Cantor-Bernstein定理:
若两个集合分别有到对方的单射,则二者基数相等.
构造f:P(N) → (0,1).
若S为N的非空子集,定义f(S) = ∑{n ∈ S} 1/10^(n+1).
当n ∈ S,则f(S)的10进制小数小数点后第n+1位为1,否则为0.
另外补充定义f(∅) = 0.2.
构造g:(0,1) → P(N).
设a ∈ (0,1),定义g(a) = {[(1+a)10^k] | k ∈ N} ([x]表示不超过x的最大整数).
例如对a = π-3.14 = 0.001592653...,
有g(a) = {1,10,100,1001,10015,100159,1001592,...}.
即g(a)是由1+a截断到不同位数得到的,加1则是为了在前面补0.
不难验证f,g都是单射,故P(N)与(0,1)的基数相等,进而与R的基数相等.

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