隐函数的求导,11题证明题.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 01:23:19
隐函数的求导,11题证明题.
隐函数的求导,11题证明题.
隐函数的求导,11题证明题.
解 注意到 y = y(x),先对
F(x,y,t) = 0,
关于 x 求导,得
DF/Dx + (DF/Dy)(dy/dx) +(DF/Dt)(Dt/Dx) = 0,
可得
Dt/Dx = -[DF/Dx + (DF/Dy)(dy/dx)]/(DF/Dt),(*)
最后再对
y = f(x,t)
关于 x 求导,得
dy/dx = Df/Dx + (Df/Dt)(Dt/Dx)
代入 (*) 式,得
dy/dx= Df/Dx + (Df/Dt)*[-(DF/Dx)-(DF/Dy)(dy/dx)]/(DF/Dt),
由此可解得你的式子
…….
先分析一下：
根据所要证明的结论来看，y与x之间的一元函数关系y=y(x)是由方程组y=f(x,t)，F(x,y,t)=0确定的。方程组里面有三个变量，能确定两个一元隐函数。既然确定了y=y(x)，那么两个隐函数的自变量就是x，因变量是y与t。
两个方程两边都对x求导，得到关于dy/dx与dt/dx的两个二元一次方程，求出dy/dx就是了。
过程：
y=f(x,t)...
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先分析一下：
根据所要证明的结论来看，y与x之间的一元函数关系y=y(x)是由方程组y=f(x,t)，F(x,y,t)=0确定的。方程组里面有三个变量，能确定两个一元隐函数。既然确定了y=y(x)，那么两个隐函数的自变量就是x，因变量是y与t。
两个方程两边都对x求导，得到关于dy/dx与dt/dx的两个二元一次方程，求出dy/dx就是了。
过程：
y=f(x,t)两边对x求导：dy/dx=fx+ft*dt/dx。
F(x,y,t)=0两边对x求导：Fx+Fy*dy/dx+Ft*dt/dx=0。
两个式子联立，解出dy/dx=(FxFt-FtFx)/(Ft+Fyft)。
－－－－－
这里，用全微分的方法会简单些，好处是不用管除了x,y之外的变量的函数关系，过程如下：
对y=f(x,t)求微分：dy=fxdx+ftdt。
F(x,y,t)=0两边求微分：Fxdx+Fydy+Ftdt=0。
两个式子联立，消去dt，求出dy=(FxFt-FtFx)/(Ft+Fyft)dx，这样就有了最后的结果dy/dx=(FxFt-FtFx)/(Ft+Fyft)。
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