坑爹的数学证明题,求解啊!1）如图（1）,△ABC是等腰三角形,其中AB=AC,AF是△ABC中BC边上的中线,G是AF上一动点,连接BG、CG并延长,分别交AC、AB与点E、D,连接DE,求证 DE // BC.2）如图（2）,△ABC为任意
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 17:27:23
坑爹的数学证明题,求解啊!1）如图（1）,△ABC是等腰三角形,其中AB=AC,AF是△ABC中BC边上的中线,G是AF上一动点,连接BG、CG并延长,分别交AC、AB与点E、D,连接DE,求证 DE // BC.2）如图（2）,△ABC为任意
坑爹的数学证明题,求解啊!
1）如图（1）,△ABC是等腰三角形,其中AB=AC,AF是△ABC中BC边上的中线,G是AF上一动点,连接BG、CG并延长,分别交AC、AB与点E、D,连接DE,求证 DE // BC.
2）如图（2）,△ABC为任意三角形,其它条件不变,（1）中的结论仍然成立吗?如果成立,请给出证明.如果不成立,请说明理由.
3）如图（3）,当点D、E在AB、AC的延长线（或反向延长线）上时,直接写出BC与DE的位置关系.
4）通过以上证明,请写出一条关于三角形的一般化的定理.
坑爹的数学证明题,求解啊!1）如图（1）,△ABC是等腰三角形,其中AB=AC,AF是△ABC中BC边上的中线,G是AF上一动点,连接BG、CG并延长,分别交AC、AB与点E、D,连接DE,求证 DE // BC.2）如图（2）,△ABC为任意
这道题是塞瓦(Ceva)定理的简单推论:
由AF, BE, CD共点, 根据Ceva定理, 有AE/EC·CF/FB·BD/DA = 1.
而BF = FC, 故AE/EC = AD/DB, 于是DE // BC.
Ceva定理的证明也不难.
注意到△ABG与△BCG同底(BG), 故面积比S△ABG:S△BCG = A到BG的距离:C到BG的距离.
另一方面, 由△ABE与△BCE同底(BE), 有S△ABE:S△BCE = A到BG的距离:C到BG的距离.
即得S△ABG:S△BCG = S△ABE:S△BCE.
又△ABE与△BCE同高(以B为顶点), 得S△ABE:S△BCE = AE:EC.
于是S△ABG/S△BCG = AE/EC.
同理, S△BCG/S△CAG = BD/DA, S△CAG/S△ABG = CF/FB.
三式相乘即得AE/EC·CF/FB·BD/DA = 1.
有疑问请追问.
1）：因为AF是中线且AB=AC，所以AF为BC的垂直平分线，所以∠ABC=∠ACB,BG = GC ,∠GBF=∠GCF，所以∠DBG=∠ECG,又∠DGB=∠EGC,BG=GC,所以△DGB全等于△EGC,所以 BG / GE = CG / GD,对顶角DGE = CGB,所以△BGC相似于△EGD,所以∠GBC=∠GED,所以BC // DE
1.设AF交DE与M，∠EBC=∠DCB，BC=CB，∠ECF=∠DBC，所以△EBC≌△DCB,所以DB=EC
所以AD=AE,有∵∠DAM=∠EAM,AM=AM,所以△DAM≌△EAM,∵角AMD=角AME,所以DE // BC
其他自己想，很简单