在各项均为正的数列{An}{Bn}中,A1=2,B1=4,且An、Bn、An+1成等差数列,Bn、An+1、Bn+1（以上n、n+1均为角标）成等比数列,求（1）An、Bn（2）(1/A1+B1)+(1/A2+B2)+(1/A3+B3)+.+(1/An+Bn)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/04 01:49:46
在各项均为正的数列{An}{Bn}中,A1=2,B1=4,且An、Bn、An+1成等差数列,Bn、An+1、Bn+1（以上n、n+1均为角标）成等比数列,求（1）An、Bn（2）(1/A1+B1)+(1/A2+B2)+(1/A3+B3)+.+(1/An+Bn)
在各项均为正的数列{An}{Bn}中,A1=2,B1=4,且An、Bn、An+1成等差数列,Bn、An+1、Bn+1（以上n、n+1均为角标）成等比数列,求（1）An、Bn（2）(1/A1+B1)+(1/A2+B2)+(1/A3+B3)+.+(1/An+Bn)
在各项均为正的数列{An}{Bn}中,A1=2,B1=4,且An、Bn、An+1成等差数列,Bn、An+1、Bn+1（以上n、n+1均为角标）成等比数列,求（1）An、Bn（2）(1/A1+B1)+(1/A2+B2)+(1/A3+B3)+.+(1/An+Bn)
（1)利用所给条件,可知：a1=2,b1=4,a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,(a4=20,b4=25,……)
因此可猜测,an=n(n+1),bn=(n+1)^2.下面利用数学归纳法对这个通项公式加以证明：
I 当n=1时公式显然成立.
II 假定n=k时公式成立,即ak=k(k+1),bk=(k+1)^2,那么,n=k+1时,
由于ak,bk,a(k+1)成等差数列,所以,a(k+1)=2bk-ak=2(k+1)^2-k(k+1)=(k+1)(k+2);
又由于bk,a(k+1),b(k+1)成等数列,所以,b(k+1)=a(k+1)^2/bk=[(k+1)(k+2)]^2/(k+1)^2=(k+2)^2;
所以,n=k+1时,公式也是正确的.
综合I,II可得,对于一切正整数,公式都是正确的,所以an=n(n+1),bn=(n+1)^2是数列{an}、{bn}的通项公式.
（2）an+bn=n(n+1)+(n+1)^2=(n+1)(2n+1),所以,1/(an+bn)=1/[(n+1)(2n+1)<1/(2n(n+1))=(1/n-1/(n+1))/2.
1/（a1+b1）+1/（a2+b2）+…1/（an+bn）<1/6+[(1/2-1/3)/2+(1/3-1/4)/2+……+(1/n-1/(n+1))/2]
=1/6+1/4-1/(2(n+1))
楼上正解