已知正项数列{An}的前n项和为Sn 方程x平方+4x-4Sn=0有一个根为An-1（1）证明数列{An}为等差数列（2）令Tn=1/S1+1/S2+.+1/Sn,求Tn并比较Tn与3/4的大小.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 08:41:55
已知正项数列{An}的前n项和为Sn 方程x平方+4x-4Sn=0有一个根为An-1（1）证明数列{An}为等差数列（2）令Tn=1/S1+1/S2+.+1/Sn,求Tn并比较Tn与3/4的大小.
已知正项数列{An}的前n项和为Sn 方程x平方+4x-4Sn=0有一个根为An-1
（1）证明数列{An}为等差数列
（2）令Tn=1/S1+1/S2+.+1/Sn,求Tn并比较Tn与3/4的大小.
已知正项数列{An}的前n项和为Sn 方程x平方+4x-4Sn=0有一个根为An-1（1）证明数列{An}为等差数列（2）令Tn=1/S1+1/S2+.+1/Sn,求Tn并比较Tn与3/4的大小.
（1）由4Sn=(an+1)^2
得4S(n+1)=(a(n+1)+1)^2 两式相减
4a(n+1)=[a(n+1)+an+2]*[a(n+1)-an]
化简2(a(n+1)+an)=(a(n+1)+an)(a(n+1)-an)
因为{an}是 正项数列
所以a(n+1)-an=2
在4Sn=(an+1)^2 中,令n=1 得到a1=1
所以an=2n-1
（2）bn=1/(2n-1)(2n+1)=[1/(2n-1)-1/(2n+1)]*1/2
所以Tn=1/2[(1/1-1/3)+(1/3-1/5)+.+(2n-1)-1/(2n+1)]
相邻两项相消得到Tn=(1-1/(2n+1))1/2=n/(2n+1)
(3)Tn的最小值为T1=1/3
所以m/32
4Sn=x^2+4x=x(x+4)=(an-1)*(an+3)
4S(n-1)=(a(n-1)-1)*(a(n-1)+3)
所以4an=4*Sn-4S(n-1)
=(an-1)(an+3)-(a(n-1)-1)*(a(n-1)+3)
整理得到an^2-2an=(a(n-1))^2+2a(n-1)
(an-1)^2=[a(n-1)+1]^2
an...
全部展开
4Sn=x^2+4x=x(x+4)=(an-1)*(an+3)
4S(n-1)=(a(n-1)-1)*(a(n-1)+3)
所以4an=4*Sn-4S(n-1)
=(an-1)(an+3)-(a(n-1)-1)*(a(n-1)+3)
整理得到an^2-2an=(a(n-1))^2+2a(n-1)
(an-1)^2=[a(n-1)+1]^2
an-1=a(n-1)+1 （或an-1=-a(n-1)-1,an=-a(n-1)舍）
an=a(n-1)+2
所以为等差。
4a1=(a1-1)(a1+3)
a1^2+2a1-3-4a1=0
(a1+1)(a1-3)=0
a1=3
an=3+2(n-1)=2n+1
所以4Sn=x*(x+4)=2n*(2n+4)
Sn=n*(n+2)
所以1/Sn=1/(n(n+2))=1/2*(1/n-1/(n+2))
所以Tn=1/2*(1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+1/4-1/6+1/5-1/7+......+1/(n-1)-1/(n+1)+1/n-1/(n+2))
=1/2*(1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2))
=3/4-1/2*(1/(n+1)-1/(n+2))
<3/4
收起