已知点M(4,1),经过点M的直线L与x,y轴正半轴交于A,B,点O是坐标原点 （1）如果三角形ABO面积最小,求直线（1）如果三角形ABO面积最小,求直线L的方程（2）如果OA+OB最小,求直线L的方程（3）如果MA×M
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 21:54:21
已知点M(4,1),经过点M的直线L与x,y轴正半轴交于A,B,点O是坐标原点 （1）如果三角形ABO面积最小,求直线（1）如果三角形ABO面积最小,求直线L的方程（2）如果OA+OB最小,求直线L的方程（3）如果MA×M
已知点M(4,1),经过点M的直线L与x,y轴正半轴交于A,B,点O是坐标原点 （1）如果三角形ABO面积最小,求直线
（1）如果三角形ABO面积最小,求直线L的方程
（2）如果OA+OB最小,求直线L的方程
（3）如果MA×MB最小,求直线L的方程
过程== 答得好追加
已知点M(4,1),经过点M的直线L与x,y轴正半轴交于A,B,点O是坐标原点 （1）如果三角形ABO面积最小,求直线（1）如果三角形ABO面积最小,求直线L的方程（2）如果OA+OB最小,求直线L的方程（3）如果MA×M
由题意画出草图（见插图）,设,A（a,0）B（0,b）,a>0、b>0；
又直线过点M,根据草图设直线方程为y=-b/a（x-4）+1
将点A(或B)坐标代入得：4/a+1/b=1……①
（1）∆ABO的面积S=1/2ab
由①得：1=4/a+1/b≥2√4/a*1/b=4√1/ab；即ab≥16（当且仅当4/a=1/b时等号成立）
S=1/2ab≥8,即当4/a=1/b时,∆ABO的面积S最小,此时a=8,b=2
A（8,0）B（0,2）代入直线方程
此时直线L的方程：x+4y=8；
（3）过点M分别作xy轴的垂直线,交与C、D,则MC=4,MD=1
由图可知：α=β
直线斜率k=-b/a=-tanα=-tanβ
在∆ADM中得：sinα=MD/MA=1/MA；MA=1/sinα
在∆BCM中得：cosβ=MC/MB=4/MB；MB=4/cosβ
MA×MB=4/sinαcosβ=8/2sinαsinβ=8/sin2α=8（1+tanα*tanα）/2tanα（三角函数的万能公式）
=4/tanα+4tanα≥2√4/tanα*4tanα=8（当且仅当4/tanα=4tanα时候等号成立）
此时斜率k=tanα=-1（tanα=1舍去）即：-b/a=-1
代入直线方程中
此时直线L的方程：x+y=5
（1）如果三角形ABO面积最小，求直线L的方程
设直线L的方程为y＝kx+b,又M在L上，则4k+b=1,k=(1-b)/4
S△abo=b*(-b/k)=b²/(-k)，若S△abo最小，则-k取最大值，即 -k=1，k=-1
所以得b=5，则直线L方程：y=5-x
（2）如果OA+OB最小，求直线L的方程
OA+OB=b+(-b/k)=1-4k...
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（1）如果三角形ABO面积最小，求直线L的方程
设直线L的方程为y＝kx+b,又M在L上，则4k+b=1,k=(1-b)/4
S△abo=b*(-b/k)=b²/(-k)，若S△abo最小，则-k取最大值，即 -k=1，k=-1
所以得b=5，则直线L方程：y=5-x
（2）如果OA+OB最小，求直线L的方程
OA+OB=b+(-b/k)=1-4k-(1-4k)/k=5+(-4k-1/k)>=5+2根号(4k*1/k)=9 (-1≤k<0)
即-4k=-1/k，k=-1/2,b=3（k=1/2不适合）此时L方程为2y+x=6
（3）如果MA×MB最小，求直线L的方程
收起