设x>0 y>0 z>0 ,且 3的x次方=4的y次方=6的z次方,求证;1)z分之一减x分之一等于2y分之一 2）比较,3x 4y 6z的大小
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 01:20:58
设x>0 y>0 z>0 ,且 3的x次方=4的y次方=6的z次方,求证;1)z分之一减x分之一等于2y分之一 2）比较,3x 4y 6z的大小
设x>0 y>0 z>0 ,且 3的x次方=4的y次方=6的z次方,求证;1)z分之一减x分之一等于2y分之一 2）比较,3x 4y 6z的大小
设x>0 y>0 z>0 ,且 3的x次方=4的y次方=6的z次方,求证;1)z分之一减x分之一等于2y分之一 2）比较,3x 4y 6z的大小
1.
3的x次方=4的y次方=6的z次方
xlg3=ylg4=zlg6
设：k=xlg3=ylg4=zlg6
则：1/x=lg3/k
1/y=lg4/k=2lg2/k
1/z=lg6/k
所以：1/z - 1/x =(lg6-lg3)/k=lg2/k=1/(2y)
2.
k=xlg3=ylg4=zlg6>0
x=k/lg3,y=k/lg4,z=k/lg6
3x-4y=k(3/lg3 - 4/lg4)
=k(3lg2-2lg3)/(lg2lg3)=k*lg(8/9)/(lg2lg3)
x*In3=y*In4=z*In6
1. z=y*In4/In6 x=y*In4/In3
1/z-1/x=1/y*(In6/In4-In3-In4)=1/y*(In2/In4)=1/2y
2. 3x=3y*In4/In3 4^3<3^4 所以 3In4<4In3 因此3x<4y
3x=3z*In6/In3 6^2<4^3 所以 2In6<3In4 因此3x>6z
因此6z<3x<4y
令a=3^x=4^y=6^z
则x=lga/lg3
y=lga/lg4
z=lga/lg6
所以1/z-1/x=(lg6-lg3)/lga=lg(6/3)/lga=lg2/lga
1/2y=lg4/(2lga)=2lg2/(2lga)=lg2/lga
所以1/z-1/x=1/2y
x>0,所以lga=xlg3>0
(3^1/3)^12...
全部展开
令a=3^x=4^y=6^z
则x=lga/lg3
y=lga/lg4
z=lga/lg6
所以1/z-1/x=(lg6-lg3)/lga=lg(6/3)/lga=lg2/lga
1/2y=lg4/(2lga)=2lg2/(2lga)=lg2/lga
所以1/z-1/x=1/2y
x>0,所以lga=xlg3>0
(3^1/3)^12=3^4=81
(4^1/4)^12=4^3=64
所以3^1/3>4^1/4
同理，4^1/4>6^1/6
所以3^1/3>4^1/4>6^1/6>1
取对数
1/3lg3>1/4lg4>1/6lg6>0
所以3/lg3<4/lg4<6/lg6
乘以lga
3lga/lg3<4lga/lg4<6lga/lg6
即3x<4y<6z
收起
设3^x=4^y=6^z=k
所以x=log3 k
y=log4 k
z=log6 k
z^-1 -x^-1=logk 6 - logk 3=logk 2
(2y)^-1=0.5*logk 4=logk 2
所以z^-1 -x^-1=(2y)^-1
第一问得证
2)x,y,z>0 k>1
(3x)^-1=...
全部展开
设3^x=4^y=6^z=k
所以x=log3 k
y=log4 k
z=log6 k
z^-1 -x^-1=logk 6 - logk 3=logk 2
(2y)^-1=0.5*logk 4=logk 2
所以z^-1 -x^-1=(2y)^-1
第一问得证
2)x,y,z>0 k>1
(3x)^-1=logk 3^(1/3)
(4y)^-1=logk 4^(1/4)
(6z)^-1=logk 6^(1/6)
注意到y=x^-x单调递减
所以3^(1/3)>4^(1/4)>6^(1/6)
就有(3x)^-1>(4y)^-1>(6z)^-1
得到结论 3x<4y<6z
收起