设函数f(x)=e^x-ax-2若a=1,k为整数,且当x>0时,（x-k）f'(x)+x+1>0,求k的最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 07:39:16
设函数f(x)=e^x-ax-2若a=1,k为整数,且当x>0时,（x-k）f'(x)+x+1>0,求k的最大值
设函数f(x)=e^x-ax-2
若a=1,k为整数,且当x>0时,（x-k）f'(x)+x+1>0,求k的最大值
设函数f(x)=e^x-ax-2若a=1,k为整数,且当x>0时,（x-k）f'(x)+x+1>0,求k的最大值
a=1
f'(x)=e^x-1
（x-k）f’（x）+x+1>0 即(x-k)(e^x-1)+x+1>0
设g(x)=(x-k)(e^x-1)+x+1 (x>0)
g'(x)=e^x-1+(x-k)e^x+1=[x-(k-1)]e^x
k-1≤0,即k≤1 时,
∴x-(k-1)>0
∴g'(x)>0 恒成立,g(x)为增函数
∴g(x)>g(0)=k+
∴k+1≥0
∴-1≤k≤1当k≥2时,（ k为整数,）
00,g(x)递增
∴g(x)min=g(k-1)=1-e^(k-1)+k
1-e^(k-1)+k>0 ==>1+k>e^(k-1)
k=2时,3>e成立
k=3时,4>e²不成立
k≥4时,k+1
f(x)=e^x-x-2
f'(x)=e^x-1
（x-k）f'(x)+x+1>0化为：
（x-k)(e^x-1)+x+1>0
令g(x)=(x-k)(e^x-1)+x+1
则g'(x)=e^x+(x-k)e^x=(x+1-k)e^x
因x>0
若1-k>=0，即k<=0时，g'(x)>0, g(x)单调增，g(0)=1为最小值，因此g(x)...
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f(x)=e^x-x-2
f'(x)=e^x-1
（x-k）f'(x)+x+1>0化为：
（x-k)(e^x-1)+x+1>0
令g(x)=(x-k)(e^x-1)+x+1
则g'(x)=e^x+(x-k)e^x=(x+1-k)e^x
因x>0
若1-k>=0，即k<=0时，g'(x)>0, g(x)单调增，g(0)=1为最小值，因此g(x)>0成立
若1-k<0,即k>1时，有极小值点x=k-1, 须有g(k-1)=-e^(k-1)+1+k>0,得：1+k-e^(k-1)>0
令h(k)=1+k-e^(k-1),则h'(k)=1-e^(k-1)=0得k=1,即h(1)=1为h(k)的极大值
k>1时，h(k)单调减，h(2)=1+2-e>0, h(3)=4-e^2<0
因此k最大只能取k=2
综合得k的最大值为2.
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