如图,已知△ABC是正三角形,EA、CD都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点.求证:DF⊥平面AEB
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/01/21 09:19:15
如图,已知△ABC是正三角形,EA、CD都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点.求证:DF⊥平面AEB
如图,已知△ABC是正三角形,EA、CD都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点.求证:DF⊥平面AEB
如图,已知△ABC是正三角形,EA、CD都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点.求证:DF⊥平面AEB
取AB中点G,连CG,FG
四边形DEGC是平行四边形,
得到DF∥CG
DF⊄平面ABC,CG⊂平面ABC
所以FD∥平面ABC;
可以证明CG⊥平面EAB,
又DF∥CG,所以DF⊥平面EAB
所以,FG‖CD,且FG=CD 所以,四边形FDCG为矩形。所以,FD‖CG 所以,FD‖面ABC AF⊥平面EDB FH=a FH垂直ABC 所以FH平行等于CD 所以CDFH是
证明
取AB中点M,连CM,FM
因为F、M分别是BE、BA的中点
所以FM∥EA,FM=1/2EA=a
因为EA、CD都垂直于平面ABC,
所以CD∥EA,CD⊥MC
所以CD∥FM,
又CD=a=FM
所以四边形FMCD是矩形
所以FD⊥FM
因M是AB的中点,△ABC是正三角形,所以CM⊥AB
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证明
取AB中点M,连CM,FM
因为F、M分别是BE、BA的中点
所以FM∥EA,FM=1/2EA=a
因为EA、CD都垂直于平面ABC,
所以CD∥EA,CD⊥MC
所以CD∥FM,
又CD=a=FM
所以四边形FMCD是矩形
所以FD⊥FM
因M是AB的中点,△ABC是正三角形,所以CM⊥AB
又 EA垂直于平面ABC,所以CM⊥AE,
又 AE∩AB=A,所以CM⊥面EAB
又AF⊂面EAB
所以 CM⊥AF
又CM∥FD,从而FD⊥AF,
因F是BE的中点,EA=AB所以AF⊥EB
EB,FD是平面EDB内两条相交直线
所以AF⊥平面EDB
又FD⊂面EDB
所以AF⊥FD
又AF和MF都属于平面EAB且相交于F点
所以FD⊥平面AEB (垂直于平面内两条相交直线)
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