用定义证明函数f(x)=（根号下x的平方+1）-x是减函数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/02 03:32:25
用定义证明函数f(x)=（根号下x的平方+1）-x是减函数
用定义证明函数f(x)=（根号下x的平方+1）-x是减函数
用定义证明函数f(x)=（根号下x的平方+1）-x是减函数
（x²+1）都在根号下还是（根号下x²）再加一?
1、导数法
f'(x)=x/√(1+x^2) -1=[x-√(1+x^2)]/√(1+x^2)。
分子总是<0，所以f'(x)<0，即f(x)在R上单调递减。
2、定义法。
设x1∈R，x2∈R，且x2>x1。
f(x2)-f(x1)=√(1+x2^2)-x2-√(1+x1^2)+x1
=1/[√(1+x2^2)+x2]-1/[√(1+x1^2...
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1、导数法
f'(x)=x/√(1+x^2) -1=[x-√(1+x^2)]/√(1+x^2)。
分子总是<0，所以f'(x)<0，即f(x)在R上单调递减。
2、定义法。
设x1∈R，x2∈R，且x2>x1。
f(x2)-f(x1)=√(1+x2^2)-x2-√(1+x1^2)+x1
=1/[√(1+x2^2)+x2]-1/[√(1+x1^2)+x1]
前面的分母大，所以f(x2)-f(x1)<0
所以单调递减。
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根号x^2+1-x
当x<0时
√(x^2+1）-x
随着x的增大而减小，所以
x^2+1）-x在（-∞，0]上是减函数
当x>0时
√(x^2+1-x]=1/[√(x^2+1）+x]
随着x的增大而减小，所以
√(x^2+1）-x]在[0，+∞）上是减函数
所以函数在R上是减函数
f(x)=（根号下x的平方+1）-x=[（根号下x的平方+1）-x]*[（根号下x的平方+1）+x]/（根号下x的平方+1）+x]
=(x^2+1-x^2)/(根号（x^2+1)+x)
=1/(根号（x^2+1)+x)
显然x越大，根号（x^2+1)+x也越大，1/（根号（x^2+1)+x）越小，
所以函数f(x)=（根号下x的平方+1）-x是减函数...
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f(x)=（根号下x的平方+1）-x=[（根号下x的平方+1）-x]*[（根号下x的平方+1）+x]/（根号下x的平方+1）+x]
=(x^2+1-x^2)/(根号（x^2+1)+x)
=1/(根号（x^2+1)+x)
显然x越大，根号（x^2+1)+x也越大，1/（根号（x^2+1)+x）越小，
所以函数f(x)=（根号下x的平方+1）-x是减函数
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