如何严格证明只有空集和R^n既是开集又是闭集?其他都不可能.

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/18 15:12:16

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如何严格证明只有空集和R^n既是开集又是闭集?其他都不可能.
首先要明确的是你所说的开集和闭集都是对欧式拓扑而言的.
这个可以用反证法证明,假设存在R^n中的子集A既是闭集又是开集,那么根据开集定义,对于任意点a属于A,都是A中的内点,即总是存在一个足够小的a的开邻域B（r,a）使得B包含于A；
如果r的取值是任意的,显然A=R^n.否则总是存在足够大的r使得B-A为非空,即B不包含于A.
那么满足B包含于A的r的值必有上确界R.
当d（a,b）=R时,
若b属于A,由于A是开集,因此b是A中的内点.
若b不属于A,由于A是闭集,那么A补是开集,b是A补中的内点.
设C={b:d（a,b）=R,b属于A}；D={b:d（a,b）=R,b不属于A}；显然C并D={b:d（a,b）=R}
显然d（C,D）=0,那么存在一个点对列（cn,dn）,使得当n趋于无穷时,d（cn,dn）=0
由于cn是有界点列,因此比有收敛子列,不妨设cn收敛到c,
同理dn也是有界点列,因此在cn收敛的情况下,dn也有收敛子列,因此不妨设cn收敛于c,同时dn收敛于d.由于d（cn,dn）=0当n趋于无穷时,因此c=d；
若c属于C,那么c属于A,由于不属于A是的点列dn收敛于c,（注意D是A补的子集）,因此c不是A中的内点,与A是开集矛盾；
同理当c属于D时,于A补是开集矛盾.
因此假设命题不成立,不存在既是开集有是闭集的集合；
PS：我不知道你的水平,如果你是数学系研究生的话,这个就好办了.由于R^n是连通空间,因此不存在连通分支,因此任何子集都不可能既是开集又是闭集.

如何严格证明只有空集和R^n既是开集又是闭集?其他都不可能. 为什么空集既是开集又是闭集是实变函数的问题如何证明一个函数既是奇函数又是偶函数关于空集的问题空集∈{空集},空集真包含于{空集},成立否?那么怎么判断空集是集合还是元素,别说既是集合又是元素.{x|x^2+1=0,x∈R}等于空集还是{空集}?那么空集∈{x|x^2+1=0,x∈R}对还是错?B={1},A= 证明：只有一个空集.即空集是唯一的. 如何证明一个集合是空集 n阶矩阵A既是正交矩阵又是正定矩阵证明A是单位矩阵若U为全集,A是U的子集,CuA为A的补集,那么空集是不是既是A的子集又是CuA的子集那么A和CuA都包含了空集那不就逆天了么……已知全集U=R,集合A={x│-1≤x≤6},B={x│a+2≤x≤2a},B=A在U中的补集求a的集合M={平行四边形},集合N={梯形},则M和N的交集=（）A.M B.N C.空集 D.{有一组对边平行的四边形}可以想象集合M与N没有公共元素,所以选C,但为什么集合M和N的交集意味着既是平行四边形又是梯形 B是n阶矩阵,如何证明R(AB-E) B是n阶矩阵,如何证明R(AB-E) F是m*r的列满秩矩阵,G是r*n的行满秩矩阵,证明F*G的秩=r.这好像是m*n矩阵的满秩分解的逆问题,可以想象是这样,不过我需要严格的证明,哪位砖家能给点提醒,不太清楚一楼的回复中对F和G的分解用怎样证明硫酸铵既是铵盐又是硫酸盐写出实验方法现象和有关方程式e 既是一个数N次方又是一个数M次方的数必然是一个数的N与M的最小公倍数次方如何证明可以演算清楚于纸上然后拍下来如何证明y=x+sinx是严格增函数如何证明伽马函数是严格的凸函数? 若n阶方程A既是正定矩阵,又是正交矩阵,证明：A是单位矩阵怎样证明某白色固体既是铵盐,又是硫酸盐