如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD（不含B点）上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN.AM.CM.1.求证：△AMB≌△ENB;2.(1)M点在何处AM+CM最小；（2）当M点何处时,AM+BM+C

如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD（不含B点）上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN.AM.CM.1.求证：△AMB≌△ENB;2.(1)M点在何处AM+CM最小；（2）当M点何处时,AM+BM+C
如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD（不含B点）上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转
60°得到BN,连接EN.AM.CM.1.求证：△AMB≌△ENB;
2.(1)M点在何处AM+CM最小；
（2）当M点何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由；
3.当AM+BM+CM的最小值为根号3+1时,求正方形的边长.

如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD（不含B点）上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN.AM.CM.1.求证：△AMB≌△ENB;2.(1)M点在何处AM+CM最小；（2）当M点何处时,AM+BM+C
⑴∵△ABE是等边三角形,
∴BA＝BE,∠ABE＝60°.
∵∠MBN＝60°,
∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.
即∠BMA＝∠NBE.
又∵MB＝NB,
∴△AMB≌△ENB（SAS）
⑵①当M点落在BD的中点时,AM＋CM的值最小
②连接CE,当M点位于BD与CE的交点处时,
AM＋BM＋CM的值最小
理由如下：连接MN.由⑴知,△AMB≌△ENB,
∴AM＝EN.
∵∠MBN＝60°,MB＝NB,
∴△BMN是等边三角形.
∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM
根据“两点之间线段最短”,得EN ＋MN＋CM＝EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时,AM＋BM＋CM的值最小,即等于EC的长
⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F,
∴∠EBF＝90°－60°＝30°.
设正方形的边长为x,则BF＝√3/2x,EF=x/2
在Rt△EFC中,
∵EF²＋FC²＝EC²,
（x/2）²+（√3/2x+x）²=（√3+1）²
解得x=√2

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（1）证明：∵△ABE是等边三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°，
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．
即∠MBA=∠NBE．
又∵MB=NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS)
（2）①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，<...

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（1）证明：∵△ABE是等边三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°，
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．
即∠MBA=∠NBE．
又∵MB=NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS)
（2）①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM+BM+CM的值最小
理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM=EN，
∵∠MBN=60°，MB=NB，
∴△BMN是等边三角形．
∴BM=MN．
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM
根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长
（3）过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF=90°-60°=30°．
设正方形的边长为x，则BF= 根号3 / 2 x，EF=x /2 ．
在Rt△EFC中，
∵EF²+FC²=EC²，
∴（x/ 2 ）²+（根号 3 / 2 x+x）²=(根号 3 +1)²解得，x= 根号2 （舍去负值）．
∴正方形的边长为根号 2

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（1）证明：∵△ABE是等边三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°，
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．
即∠MBA=∠NBE．
又∵MB=NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）．（5分）
（2）①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．（7分）
②如图，连接CE，当M点位于BD...

全部展开

（1）证明：∵△ABE是等边三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°，
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．
即∠MBA=∠NBE．
又∵MB=NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）．（5分）
（2）①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．（7分）
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM+BM+CM的值最小．（9分）
理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM=EN，
∵∠MBN=60°，MB=NB，
∴△BMN是等边三角形．
∴BM=MN．
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．（10分）
根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．（11分）
（3）过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF=90°-60°=30°．
设正方形的边长为x，则BF=32x，EF=x2．
在Rt△EFC中，
∵EF2+FC2=EC2，
∴（x2）2+（32x+x）2=(
3+1)2．（12分）
解得，x1=2，x2=-2（舍去负值）．
∴正方形的边长为2．（13分）

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