酒杯的形状如倒立的圆锥,杯深8cm,上口宽6cm,若水以20m3/s的流速倒入杯中,则当水深为4cm时,其水升高的瞬时变化率是cm/s?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 17:19:31
酒杯的形状如倒立的圆锥,杯深8cm,上口宽6cm,若水以20m3/s的流速倒入杯中,则当水深为4cm时,其水升高的瞬时变化率是cm/s?
酒杯的形状如倒立的圆锥,杯深8cm,上口宽6cm,若水以20m3/s的流速倒入杯中,则当水深为4cm时,其水升高的瞬时变化率是cm/s?
酒杯的形状如倒立的圆锥,杯深8cm,上口宽6cm,若水以20m3/s的流速倒入杯中,则当水深为4cm时,其水升高的瞬时变化率是cm/s?
20/(3.14*1.5*1.5)
水面高度 x 为时间 t 的函数，设为 x = x ( t )。故水面上升的速度便是 x 关于 t 的导数 x ' (t) 。设杯深为 h ，先算出水面高度为 x 时，圆锥内水的体积 V 。可以得出此时杯中水面宽为
r = R*x/h ，因而 V=(1/3)*π*( (R*x/h)^2 )*h = (1/3)*π*( (R*x)^2)/h = (1/3)*π*(R^2)*(x^2)/h，<...
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水面高度 x 为时间 t 的函数，设为 x = x ( t )。故水面上升的速度便是 x 关于 t 的导数 x ' (t) 。设杯深为 h ，先算出水面高度为 x 时，圆锥内水的体积 V 。可以得出此时杯中水面宽为
r = R*x/h ，因而 V=(1/3)*π*( (R*x/h)^2 )*h = (1/3)*π*( (R*x)^2)/h = (1/3)*π*(R^2)*(x^2)/h，
所以水量增加的速度为体积 V 的导数 V ' (t) = (1/3)*π*(R^2)/h*(2x)*x ' (t)，
根据题中假设V ' (t) = A，因而 x ' (t) = 3*A*h/(π*(R^2)*2x)
这就是水面上升的速度，即水升高的瞬时变化率，
代入数值 h = 8cm，R = 3cm，x = 4cm，A = 20立方米/s，
得 x ' (t) = 3*A*h/(π*(R^2)*2x) = 3*20*8/(3.14*3*3*2*4) = 2.12 (cm/s)
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