证明lnn/n^2在n趋于无穷时的极限为0
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 00:51:59
证明lnn/n^2在n趋于无穷时的极限为0
证明lnn/n^2在n趋于无穷时的极限为0
证明lnn/n^2在n趋于无穷时的极限为0
|lnn/n^2-0|
为使
|lnn/n^2|
取N=[1/n]
当n>N时
|lnn/n^2-0|
lnn/n^2在n趋于无穷时的极限为0
lmn/n^2
=lm(1/n)
因为 n趋向于无穷，所以 1/n 趋向于0
所以n趋向于无穷时 lm(1/n)=0
应用两边夹法则或者洛毕达法则都可以证明，但是如果你这里的n是正整数集合，需要设定对应函数lnx/x^2，x属于正实数集。
两边夹法则：
1/x^2 < lnx/x^2 < x/x^2 (x > e),而1/x^2和x/x^2的极限均为0，所以lnx/x^2的极限也为0，同理得到lnn/n^2在n趋于无穷时的极限为0
洛毕达法则：
上下求导，得到
（1/x）/...
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应用两边夹法则或者洛毕达法则都可以证明，但是如果你这里的n是正整数集合，需要设定对应函数lnx/x^2，x属于正实数集。
两边夹法则：
1/x^2 < lnx/x^2 < x/x^2 (x > e),而1/x^2和x/x^2的极限均为0，所以lnx/x^2的极限也为0，同理得到lnn/n^2在n趋于无穷时的极限为0
洛毕达法则：
上下求导，得到
（1/x）/2x = 1/2x^2 极限均0，即lnn/n^2在n趋于无穷时的极限为0
收起
证一：
lim(n->+∞） lnn/n^2
=lim(x->+∞） lnx/x^2
=lim(x->+∞） (1/x)/2x
=lim(x->+∞） 1/2x^2
=0
证二：O'Stoltz 定理
lim(n->+∞） lnn/n^2
=lim(n->+∞） [ln（n+1)-lnn]/[(n+1)^2-n^2]
...
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证一：
lim(n->+∞） lnn/n^2
=lim(x->+∞） lnx/x^2
=lim(x->+∞） (1/x)/2x
=lim(x->+∞） 1/2x^2
=0
证二：O'Stoltz 定理
lim(n->+∞） lnn/n^2
=lim(n->+∞） [ln（n+1)-lnn]/[(n+1)^2-n^2]
=lim(n->+∞） ln（1+1/n)/[2n+1]
=0
证三：
0
证四：
lnn=∑(k=1,n-1) ln(1+1/k) 【=∑(k=1,n-1) ln(k+1)/k】
<∑(k=1,n-1) 1/k < n-1
lim(n->+∞） lnn/n^2 =0
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