∫(1,e)dx/x(1-(lnx)^2)^(1/2)讨论收敛性 若收敛 求其值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 16:54:26
∫(1,e)dx/x(1-(lnx)^2)^(1/2)讨论收敛性 若收敛 求其值
∫(1,e)dx/x(1-(lnx)^2)^(1/2)讨论收敛性 若收敛 求其值
∫(1,e)dx/x(1-(lnx)^2)^(1/2)讨论收敛性 若收敛 求其值
1/x＝d(lnx),所以换元t=lnx,原式＝∫(0,1) 1/√(1-t^2) dt,其原函数是arcsint,代入上下限,结果是π/2.所以积分收敛,值是π/2
分析该积分，瑕点为x=e，那么我们设
lim[x->e] [(x-e)^p]/[x√(1-ln²x)] = A, (其中p为待求实数,A∈(0,∞))
令x-e=t,x->e-,t->0-,原式变为lim[t->0-] (t^p)/[(t+e)√(1-ln²(t+e))]
= lim[t->0] [(t^p)/[e√(1-ln(t+e))(1+ln(...
全部展开
分析该积分，瑕点为x=e，那么我们设
lim[x->e] [(x-e)^p]/[x√(1-ln²x)] = A, (其中p为待求实数,A∈(0,∞))
令x-e=t,x->e-,t->0-,原式变为lim[t->0-] (t^p)/[(t+e)√(1-ln²(t+e))]
= lim[t->0] [(t^p)/[e√(1-ln(t+e))(1+ln(t+e))]= lim[t->0] [(t^p)/[(√2)e√(1-ln(t+e))]
=lim[t->0] [(t^p)/[(√2)e√(1-(lne+ln(t/e+1))]=lim[t->0] [(t^p)/[(√2)e√(-ln(t/e+1))]
=lim[t->0] [(t^p)/[(√2)e√(-t/e+o(t))]=A -------- (o(t)是t的高阶无穷小，这里用等价无穷小替换或者泰勒展开都可以求得)
可以求出p=1/2,所以存在p=1/2,0
计算积分：∫[1->e] dx/[x√(1-ln²x)] =∫[1->e] dlnx/√(1-ln²x)
令t=lnx,t∈(0,1),原式=∫[0->1] dt/√(1-t²)=arcsint | [0->1]=π/2
收起