设:y=e^x(0

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/16 07:56:07
设:y=e^x(0设:y=e^x(0设:y=e^x(0S(t)=∫(e^t-e^x)dx(x下限为0,上限为t)+∫(e^x-e^t)dx(x下限为t,上限为1)=∫e^tdx-∫e^xdx(两者x下

设:y=e^x(0
设:y=e^x(0

设:y=e^x(0
S(t)=∫(e^t -e^x)dx(x下限为0,上限为t) +∫(e^x-e^t)dx(x下限为t,上限为1)
=∫e^tdx-∫e^xdx(两者x下限都为0,上限为t) +∫e^xdx-∫e^tdx(两者x下限都为t,上限为1)
两项分开求:
前项=e^t *(t-0) -e^x(x下限0,上限t)
=t*e^t-(e^t-1)
=t*e^t-e^t+1
后项=e^x(x下限t,上限1) -(1-t)*e^t
=e-e^t -e^t +t*e^t
=t*e^t -2e^t+e
于是原s(t)=2t*e^t -3e^t +e+1
此函数的自变量很显然是t∈[0,1]
对此s(t)求导:
s'(t)=2te^t +2e^t -3e^t=2te^t-e^t=(2t-1)*e^t
可以看出唯一驻点在t=1/2上取得,此时S(1/2)=e-2√e +1
而s''(t)=(2t+1)e^t,可求出S''(1/2)=2√e>0
故点(1/2,e-2√e+1)是一处极小值点;
另可求出S(0)=e-2,S(1)=1,比较三个值的大小,有e-2√e+1

s(t)=∫(上限1,下限0)(e^x-e^t)dx=e-1-e^t
最大值T=0时 s(t)=e-2 最小值T=1时 s(t)=-1