关于向量最大线性无关组的问题a1=(-1,1,-1,3) a2=(1,1,3,1) a3=(-1,3,-1,7) a4=(5,-2,8,-9) 求向量组a1,a2,a3,a4的一个最大线性无关组,并把其余向量用最大线性无关组表示最大线性无关组是怎样判断出来的,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/24 09:51:42
关于向量最大线性无关组的问题a1=(-1,1,-1,3) a2=(1,1,3,1) a3=(-1,3,-1,7) a4=(5,-2,8,-9) 求向量组a1,a2,a3,a4的一个最大线性无关组,并把其余向量用最大线性无关组表示最大线性无关组是怎样判断出来的,
关于向量最大线性无关组的问题
a1=(-1,1,-1,3) a2=(1,1,3,1) a3=(-1,3,-1,7) a4=(5,-2,8,-9) 求向量组a1,a2,a3,a4的一个最大线性无关组,并把其余向量用最大线性无关组表示
最大线性无关组是怎样判断出来的,我这个搞不懂~
关于向量最大线性无关组的问题a1=(-1,1,-1,3) a2=(1,1,3,1) a3=(-1,3,-1,7) a4=(5,-2,8,-9) 求向量组a1,a2,a3,a4的一个最大线性无关组,并把其余向量用最大线性无关组表示最大线性无关组是怎样判断出来的,
正常解法:
将向量作为列向量构造矩阵
对矩阵用初等行变换化成梯矩阵
则可得两个结果:
(1)梯矩阵的非零行数即向量组的秩
(2)梯矩阵中非零行的首非零元所在列对应的向量即为一个极大无关组
若将其余向量用最大线性无关组线性表示,则将梯矩阵进一步化成行简化梯矩阵
则可直接得出向量间的线性关系.
(a1^T,a2^T,a3^T,a4^T) =
-1 1 -1 5
1 1 3 -2
-1 3 -1 8
3 1 7 -9
r2+r1,r3-r1,r3+3r1
-1 1 -1 5
0 2 2 3
0 2 0 3
0 4 4 6
r3-r2,r4-2r2
-1 1 -1 5
0 2 2 3
0 0 -2 0
0 0 0 0
(这是梯矩阵,可知向量组的秩为3,
a1,a2,a3 是向量组的一个极大无关组)
r1*(-1),r2*(1/2),r3*(-1/2)
1 -1 1 -5
0 1 1 3/2
0 0 1 0
0 0 0 0
r1-r3,r2-r3
1 -1 0 -5
0 1 0 3/2
0 0 1 0
0 0 0 0
r1+r2
1 0 0 -7/2
0 1 0 3/2
0 0 1 0
0 0 0 0
所以a1,a2,a3 是向量组的一个极大无关组
a4 = -(7/2)a1 + (3/2)a2 + 0a3.
把向量并列成矩阵，然后利用初等变换消去成为三角阵，不是全0的向量对应的就是极大线性无关组
例如：取a1不变，a2 +a1得到(0,2,2,4), a1+a3=(0,4,-2,10), a4+5a1 = (0, 3, 3, 6)
显然a2+a1和a4+5a1成比例，a4就可以由a1,a2表示，可以排除
剩下的a2+a1, a2+a3彼此无关，所以极大线性无关组就是a1,a2,...
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把向量并列成矩阵，然后利用初等变换消去成为三角阵，不是全0的向量对应的就是极大线性无关组
例如：取a1不变，a2 +a1得到(0,2,2,4), a1+a3=(0,4,-2,10), a4+5a1 = (0, 3, 3, 6)
显然a2+a1和a4+5a1成比例，a4就可以由a1,a2表示，可以排除
剩下的a2+a1, a2+a3彼此无关，所以极大线性无关组就是a1,a2,a3
因为a4+5a1 = 1.5(a1+a2) ,所以a4 = 1.5a2 -3.5a1
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