f(x)=x^2lnx-x^3-ax^2-x+1,（1）当a=1/2时,求f(x)在(0,1]上的最小值.（2）若y=f(x)在(0,+无穷）上为减函数,求a的取值范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 21:26:34
f(x)=x^2lnx-x^3-ax^2-x+1,（1）当a=1/2时,求f(x)在(0,1]上的最小值.（2）若y=f(x)在(0,+无穷）上为减函数,求a的取值范围.
f(x)=x^2lnx-x^3-ax^2-x+1,（1）当a=1/2时,求f(x)在(0,1]上的最小值.（2）若y=f(x)在(0,+无穷）上为减函数,求a的取值范围.
f(x)=x^2lnx-x^3-ax^2-x+1,（1）当a=1/2时,求f(x)在(0,1]上的最小值.（2）若y=f(x)在(0,+无穷）上为减函数,求a的取值范围.
答:f(x)=x^2lnx-x^3-ax^2-x+1 当a=1/2时 f(x)=x^2lnx-x^3-x^2/2-x+1
所以f’(x)=2xlnx+x-3x^2-x-1=2xlnx-3x^2-1 因为x在(0,1]上 所以2xlnx<0 -3x^2<0
f‘(x)在x属于(0,1]上小于0 所以f(x)在(0,1]上单调减 所以f(x)的最小值为f(1)=-1-1/2-1+1=-3/2
答 因为f(x)=x^2lnx-x^3-ax^2-x+1 所以f’(x)=2xlnx+x-3x^2-2ax-1
因为f(x)在(0,+无穷）上为减函数 所以f‘(x)<0在x属于(0,+无穷）上恒成立
所以2xlnx+x-3x^2-2ax-1<0 2ax>2xlnx+x-3x^2-1 所以a>lnx+1/2-3x/2-1/2x
令g(x)=lnx+1/2-3x/2-1/2x 所以a>g(x)的最大值即可
因为g(x)=lnx+1/2-3x/2-1/2x 所以g’(x)=1/x-3/2+1/2x^2 令g‘(x)=0
得到3x^2-2x-1=0 （3x+1)(x-1)=0 所以x1=-1/3 x2=1
因为x的定义域是(0,正无穷) 所以g(x)在x属于(0,1)上单调增,在(1,正无穷)上单调减
所以g(x)的最大值为g(1)=-3/2
所以综上 a>-3/2 即可