已知函数f(x)=lg(x+√(x^2+1),若（x+根号下x^2+1）（y+根号下y^2+1）=1,求x+y的值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 18:04:10
已知函数f(x)=lg(x+√(x^2+1),若（x+根号下x^2+1）（y+根号下y^2+1）=1,求x+y的值
已知函数f(x)=lg(x+√(x^2+1),若（x+根号下x^2+1）（y+根号下y^2+1）=1,求x+y的值
已知函数f(x)=lg(x+√(x^2+1),若（x+根号下x^2+1）（y+根号下y^2+1）=1,求x+y的值
√(x^2+1) + x = 1/ (√(y^2+1) + y) = √(y^2+1) - y
√(x^2+1) - x = 1/ (√(x^2+1) + x) = √(y^2+1) + y
相减得x+y=0
1.函数f(x)=lg[x+√（x^2+1)]有意义
只需x+√(x^2+1）>0
因为x+√(x^2+1）=1/[ √(x^2+1）-x]
又x^2+1>x^2恒成立
故√(x^2+1）>x
从而√(x^2+1）-x>0
故x+√(x^2+1）=1/[ √(x^2+1）-x]>0恒成立
故f(x)的定义域为R.
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1.函数f(x)=lg[x+√（x^2+1)]有意义
只需x+√(x^2+1）>0
因为x+√(x^2+1）=1/[ √(x^2+1）-x]
又x^2+1>x^2恒成立
故√(x^2+1）>x
从而√(x^2+1）-x>0
故x+√(x^2+1）=1/[ √(x^2+1）-x]>0恒成立
故f(x)的定义域为R.
2.f(x)=lg[x+√(x^2+1)]
f(-x)=lg[-x+√((-x)^2+1)]=lg[-x+√(x^2+1)]
f(x)+f(-x)=lg{[x+√(x^2+1)][-x+√(x^2+1)]}=lg[(x^2+1)-x^2]=lg1=0
所以f(-x)=-f(x)
且f(x)的定义域是R
所以f(x)是奇函数
3.设x1
=[x1+√(x1^2+1)]-[x2+√(x2^2+1)]
=(x1-x2)+[√(x1^2+1)-√(x2^2+1)]
=(x1-x2)+[(x1^2+1)-(x2^2+1)]/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
=(x1-x2)+(x1-x2)(x1+x2)/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
=(x1-x2){[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]+(x1+x2)}/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
=(x1-x2){[√(x1^2+1)+x1]+[√(x2^2+1)+x2]}/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
因为√(x1^2+1)>√x1^2=|x1|≥-x1，所以√(x1^2+1)+x1>0
同理，√(x2^2+1)+x2>0
所以[√(x1^2+1)+x1]+[√(x2^2+1)+x2]>0
又x1-x2<0，√(x1^2+1)+√(x2^2+1)>0
所以g(x1)-g(x2)<0
g(x1)
所以复合函数f(x)=h[g(x)]也是增函数
即f(x)=lg[x+√（x^2+1)]为增函数.
4.（x+√(x^2+1))(y+√(y^2+1))=1两边取对数
易知：f(x)+f(y)=0,
即f(x)=-f(y)
因为函数是奇函数，所以f(-y)=-f(y)，
所以f(x)= f(-y)
由上式及单调性知道，x=-y,
所以x+y=0
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