数列题设数列{An}的前项和为Sn,已知A1=1,S(n+1)=4An+2,（1）设Bn=A(n+1)-2An,证明数列{An}是等比数列（2)求数列{An}的通项公式
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 18:35:08
数列题设数列{An}的前项和为Sn,已知A1=1,S(n+1)=4An+2,（1）设Bn=A(n+1)-2An,证明数列{An}是等比数列（2)求数列{An}的通项公式
数列题
设数列{An}的前项和为Sn,已知A1=1,S(n+1)=4An+2,
（1）设Bn=A(n+1)-2An,证明数列{An}是等比数列
（2)求数列{An}的通项公式
数列题设数列{An}的前项和为Sn,已知A1=1,S(n+1)=4An+2,（1）设Bn=A(n+1)-2An,证明数列{An}是等比数列（2)求数列{An}的通项公式
1、证：
由于S(n+1)=4An+2
S(n+2)=4A(n+1)+2
两式相减,知A(n+2)=4A(n+1)-4An
即A(n+2)-2A(n+1)=2[A(n+1)-2An].
又因为bn=A(n+1)-2An,
故B(n+1)=2Bn.
容易求得A1=1,A2=5,
所以B1=A2-2A1=3.
故{Bn}是以3为首项,2为公比的等比数列.
2、
由于Bn=3*2^(n-1),
即A(n+1)-2An=3*2^(n-1)
A(n+1)=2An+3*2^(n-1)
A(n)=2A(n-1)+3*2^(n-2)
A(n-1)=2A(n-2)+3*2^(n-3)
...
A(2)=2A(1)+3*2^(0)
将以上各式代入前一式中：
A(n+1)=2[2A(n-1)+3*2^(n-2)]+3*2^(n-1)
=2^2A(n-1)+3*2^(n-1)+3*2^(n-1)
=2^2A(n-1)+2*3*2^(n-1)
=2^2[2A(n-2)+3*2^(n-3)]+2*3*2^(n-1)
=2^3A(n-2)+3*3*2^(n-1)
...
=2^(n+1-k)*A(k)+(n+1-k)*3*2^(n-1)
...
=2^n*A(1)+n*3*2^(n-1)
=2^n+3n*2^(n-1).
因此An=2^(n-1)+3(n-1)*2^(n-2)
=3n*2^(n-2)-2^(n-2),n>1.另外,A1=1.
（验证：A2=3*2*2^(0)-2^(0)=5
A3=3*3*2^(1)-2^(1)=18-2=16
A4=3*4*2^(2)-2^(2)=48-4=44
故是成立的.）