设a,b,c为正实数,求证；a^5+b^5+c^5大于等于a^3bc+b^3ac+c^3ab急
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/28 19:02:24
设a,b,c为正实数,求证；a^5+b^5+c^5大于等于a^3bc+b^3ac+c^3ab急
设a,b,c为正实数,求证；a^5+b^5+c^5大于等于a^3bc+b^3ac+c^3ab
急
设a,b,c为正实数,求证；a^5+b^5+c^5大于等于a^3bc+b^3ac+c^3ab急
a^5+b^5+c^5>=a^3bc+b^3ac+c^3ab
即证a^4/bc+b^4/ac+c^4/bc>=a^2+b^2+c^2
(ab+bc+ac)(a^4/bc+b^4/ac+c^4/bc)
=a^4+b^4+c^4+b^5/a+a^5/b+c^5/b+b^5/c+c^5/a+a^5/c
>=a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2
=(a^2+b^2+c^2)^2
即a^4/bc+b^4/ac+c^4/bc>=(a^2+b^2+c^2)^2/(ab+bc+ac)
又ab+bc+ac=(a^2+b^2+c^2)^2/(ab+bc+ac)>=(a^2+b^2+c^2)^2/(a^2+b^2+c^2)=a^2+b^2+c^2
原不等式得证
(ab+bc+ac)(a^4/bc+b^4/ac+c^4/bc)>=(a^2+b^2+c^2)^2亦可直接由柯西不等式得到
原命题等价于证a^4/(bc) + b^4/(ac) + c^4/(ab)≥a^2+b^2+c^2------(*)
由柯西不等式有
（bc+ac+ab)[a^4/(bc) + b^4/(ac) + c^4/(ab)]≥(a^2+b^2+c^2)^2
所以a^4/(bc) + b^4/(ac) + c^4/(ab)≥（a^2+b^2+c^2）^2/(bc+ac+ab)
全部展开
原命题等价于证a^4/(bc) + b^4/(ac) + c^4/(ab)≥a^2+b^2+c^2------(*)
由柯西不等式有
（bc+ac+ab)[a^4/(bc) + b^4/(ac) + c^4/(ab)]≥(a^2+b^2+c^2)^2
所以a^4/(bc) + b^4/(ac) + c^4/(ab)≥（a^2+b^2+c^2）^2/(bc+ac+ab)
又bc≤（b^2+c^2)/2, ac≤（a^2+c^2)/2, ab≤（a^2+b^2)/2
所以a^4/(bc) + b^4/(ac) + c^4/(ab)≥
（a^2+b^2+c^2）^2/[（b^2+c^2)/2+（a^2+c^2)/2+(a^2+b^2)/2]
=a^2+b^2+c^2
(*)式得证，即原命题得证。
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