求教高数问题洛必达法则是不是能用泰勒公式证明?如任意的f(x)/g(x)?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 13:41:33
求教高数问题洛必达法则是不是能用泰勒公式证明?如任意的f(x)/g(x)?
求教高数问题
洛必达法则是不是能用泰勒公式证明?
如任意的f(x)/g(x)?
求教高数问题洛必达法则是不是能用泰勒公式证明?如任意的f(x)/g(x)?
由泰勒公式x→a f(x)→0
函数可写成f1*(x-a)+f2*(x-a)^2+f3*(x-a)^3+o((x-a)^3)的形式
(如果函数在x=a点无定义,则构造连续函数令f0(a)
=limf(a)=0 f0(x)=f(x) x≠a 它们的导数相同)
①x→a 0\0型 f(x)\g(x)→f1\g1=f'(a)\g'(a) 取x-a系数,
高次项为高阶无穷小,舍去 如果各导数仍为∞或0
则f'(a),g'(a)为某阶无穷小,保留其形式,上下再求导,直到
能确定其比 以下讨论类似
②x→a ∞\∞型 1\f(x)→0,1\g(x)→0 limf(x)\g(x)
=lim[1\g(x)]\[1\f(x)]→[1\g(x)]'\[1\f(x)]' (x=a)
=[g'(a)\f'(a)]*[f(a)\g(a)]^2
则[g'(a)\f'(a)]*[f(a)\g(a)]=1
limf(x)\g(x)→f(a)\g(a)→f'(a)\g'(a)
③x→∞ 0\0型 1\x→0 t=1\x→0
limf(x)\g(x)=limf(1\t)\g(1\t)
→[f'(1\t)(-1\t^2)]\[g'(1\t)(-1\t^2)]=f'(1\t)\g'(1\t)
t=0 ∴其极限为f'(∞)\g'(∞)
④x→∞ ∞\∞型 类似②③limf(x)\g(x)→lim[1\g(1\t)]\[1\f(1\t)]
→[g'(1\t)\f'(1\t)]*[f(1\t)\g(1\t)]^2
f(x)\g(x)→f'(1\t)\g'(1\t)→f'(∞)\g'(∞)
用拉格朗日中值定理可以证，谁会用泰勒证，分享下。