求两椭圆（x^2）／3+(y^2)≦1与x^2+(y^2)/3≦1内部的公共部分的面积,具体的过程,最好附说明!跪谢!
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/03 06:57:21
求两椭圆（x^2）／3+(y^2)≦1与x^2+(y^2)/3≦1内部的公共部分的面积,具体的过程,最好附说明!跪谢!
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由椭圆方程知,两椭圆为全等椭圆,即两椭圆形状完全相同
由椭圆的对称性可知,两椭圆的四个交点和两坐标轴及直线y=±x
将公共部分平分为8个相等的部分
比如,设图中蓝色阴影部分面积为A1,则
公共部分（所有阴影）总面积为A=8A1
由方程组 x^2/3+y^2=1,x^2+y^2/3=1
易解得,x=√3/2,y=√3/2
即两椭圆在第一象限的交点为(√3/2,√3/2)
易知,面积A1由直线y=0,y=x,及椭圆的一段弧围成
积分区间为x1≤x≤x2,0≤y≤√3/2；其中,x1=y,x2=√[1-y^2/3]
∴A1=∫<0,√3/2>(x2-x1)dy
=∫<0,√3/2>(√[1-y^2/3]-y)dy
=∫<0,π/6>(cost-√3sint)√3costdt y=√3sint,t∈[0,π/6]
=√3∫<0,π/6>[(cost)^2-√3sintcost]dt
=√3∫<0,π/6>[(cos2t+1)/2-√3sintcost]dt
=√3{1/4∫<0,π/6>cos2td2t+1/2∫<0,π/6>dt-√3∫<0,π/6>sintdsint}
=√3{1/4<0,π/6>sin2t+1/2<0,π/6>t-√3<0,π/6>(sint)^2/2}
=√3{1/4*√3/2+1/2*π/6-√3*(1/2)^2/2}
=√3/12*π
∴公共部分总面积为
A=8A1=8*√3/12*π=2√3/3*π