已知a>1,函数f(x)=x^3-3ax+a^2,g(x)=10x-11求函数f(x)在x∈[0,1]时的值域M2若对任意x1∈[0,1],存在x2∈[0,1],使得g(x2)=f(x1)成立,求a的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 03:25:50
已知a>1,函数f(x)=x^3-3ax+a^2,g(x)=10x-11求函数f(x)在x∈[0,1]时的值域M2若对任意x1∈[0,1],存在x2∈[0,1],使得g(x2)=f(x1)成立,求a的取值范围
已知a>1,函数f(x)=x^3-3ax+a^2,g(x)=10x-1
1求函数f(x)在x∈[0,1]时的值域M
2若对任意x1∈[0,1],存在x2∈[0,1],使得g(x2)=f(x1)成立,求a的取值范围
已知a>1,函数f(x)=x^3-3ax+a^2,g(x)=10x-11求函数f(x)在x∈[0,1]时的值域M2若对任意x1∈[0,1],存在x2∈[0,1],使得g(x2)=f(x1)成立,求a的取值范围
（1）先对f(x)求导,f' (x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1);
f' (x)>=0时,x>=1,或者x<=-1；
f' (x)<0时,-1
则有f(x)的值域为：[a^2-2,a^2]
(2) 若对任意x1∈[0,1],存在x2∈[0,1],使得g(x2)=f(x1)成立,
只要使g(x)函数在x∈[0,1]上g(x)值域大于等于f(x)值域：
a^2-2 >=-1
a^2 <= 9
a∈[1,3] 或者a∈[-3,-1】
又因为a>1;
所以a∈[1,3] 为所求
函数f(x)的导数f'(x)=3x^2-3a=3(x^2-a)
因为x∈[0,1],a>1,所以f'(x)<0,即函数f(x)在x∈[0,1]时为单调递减函数
所以
值域M∈[a^2-3a+1,a^2]
第一步三次函数的要注意与图像的结合，而第二步则要注意问题的等价转化，谁是任意的，谁是存在的都要看清楚，否则谁是谁的子集就会搞颠倒了