等式sin^2x+sin2x-2cos^2x=m对一切x∈R成立,求m的取值范围.要详细过程.谢谢.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 23:33:43
等式sin^2x+sin2x-2cos^2x=m对一切x∈R成立,求m的取值范围.要详细过程.谢谢.
等式sin^2x+sin2x-2cos^2x=m对一切x∈R成立,求m的取值范围.
要详细过程.谢谢.
等式sin^2x+sin2x-2cos^2x=m对一切x∈R成立,求m的取值范围.要详细过程.谢谢.
sin^2x+sin2x-2cos^2x=m
m=sin2x+sin^2x+cos^2x-3cos^2x
=sin2x+1-3/2*(cos2x+1)
=sin2x-3cos2x/2-3/2+1
=sin2x-3/2cos2x-1/2
因为√[(1^2+(3/2)^2]=√13/2
所以m=√13/2 *1/(√13/2)*sin2x-(3/2)/(√13/2)cos2x)-1/2
令1/(√13/2)=cosA,则√(1-cos^2A)√(1-(1/√13/2)^2)=(3/2)/(√13/2)=sinA
m=√13/2(sin2xcosA-cos2xsinA)-1/2
=√13/2*sin(2x-A)+5/2
所以(-√13-1)/2
sin²x+sin2x-2cos²x=m
将等式变形：
（1－cos2x)/2+sin2x-（1＋cos2x）=m
sin2x-3/2 cos2x=m+1/2
两边同除以√13/2, 2/ √13 sin2x－3/√13 cos2x＝2/√13 （m＋1/2）
∴sin（2x－φ）＝2/√13 （m＋1/2） [φ＝arcsin...
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sin²x+sin2x-2cos²x=m
将等式变形：
（1－cos2x)/2+sin2x-（1＋cos2x）=m
sin2x-3/2 cos2x=m+1/2
两边同除以√13/2, 2/ √13 sin2x－3/√13 cos2x＝2/√13 （m＋1/2）
∴sin（2x－φ）＝2/√13 （m＋1/2） [φ＝arcsin（3/√13）]
∴－1≤2/√13 （m＋1/2）≤1
解不等式得 －（√13＋1）/2≤m≤（√13－1）/2
请复核数字计算。
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sin^2x+sin2x-2cos^2x
=(1-cos2x)/2+sin2x-cos2x-1
=sin2x-3/2cos2x-1/2
=√13/2(sin2xcosa-cos2xsina)-1/2 辅助角公式 令tana=3/2
=√13/2sin(2x-a)-1/2
当sin(2x-a)=1时，最大值=(√13-1)/2
当sin(2x-a)=-1时，最小值=(-√13-1)/2
m的取值范围[(-√13-)/2，(√13-1)/2]
问题转化为函数f(x)=sin^2x+sin2x-2cos^2x 的取值范围问题。
三角函数中求解过程中要注意（1）角的统一战线（2）函数名的统一（3）表达式形式的统一
这道题中，把角统一之后（x角和2x角统一为2x角），再统一函数名（统一为正弦或者余弦）
过程如下：
f(x)=sin^2x+sin2x-2cos^2x =（1-cos^2x）+sin2x-2cos^...
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问题转化为函数f(x)=sin^2x+sin2x-2cos^2x 的取值范围问题。
三角函数中求解过程中要注意（1）角的统一战线（2）函数名的统一（3）表达式形式的统一
这道题中，把角统一之后（x角和2x角统一为2x角），再统一函数名（统一为正弦或者余弦）
过程如下：
f(x)=sin^2x+sin2x-2cos^2x =（1-cos^2x）+sin2x-2cos^2x
=1+sin2x - 3/2*cos^2x
=1+sin2x-3/2*(1+cos2x) (角统一为2x)
= - 1/2 +( sin2x -3/2*cos2x)
= - 1/2 + 平方根13/2*sin(2x-a) (函数名的统一）
由于 sin(2x+a)的取值范围是 [ -1, 1]
所以 f(x)的取值范围是 [-1/2 -平方根13/2 , -1/2+平方根13/2 ]
这就是m的取值范围。
能给你帮助就好。
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