已知f(x)=e^x+x∫f(√x)dx(积分限0到1),求f(x)
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 16:32:18
已知f(x)=e^x+x∫f(√x)dx(积分限0到1),求f(x)
已知f(x)=e^x+x∫f(√x)dx(积分限0到1),求f(x)
已知f(x)=e^x+x∫f(√x)dx(积分限0到1),求f(x)
显然定积分∫f(√x)dx(积分限0到1)为某一实数记为k,设f(x)=e^x+kx
令√x=t,则∫f(√x)dx(积分限0到1)=∫f(t)dt²(积分限0到1)=[(e^t+(k/2)x²)*(2t)-(2e^t+(k/3)t³)(t从0到1)=(2/3)k+2
将∫f(√x)dx(积分限0到1)=)=(2/3)k+2,f(x)=e^x+kx
带入原方程:e^x+(2/3)kx+2x=e^x+kx,对比得k=6
即:f(x)=e^x+6x
不懂。。。。。。
∫f(√x)dx(积分限0到1)是个常数
令√x=u则x=u^2 dx=2udu
所以∫f(√x)dx(积分限0到1)
=∫2uf(u)du(积分限0到1),
f(x)=e^x+x∫f(√x)dx(积分限0到1),
f(x)=e^x+x∫2uf(u)du(积分限0到1),
2xf(x)=2xe^x+2x^2∫2uf(u)du(积分限0到1),
全部展开
∫f(√x)dx(积分限0到1)是个常数
令√x=u则x=u^2 dx=2udu
所以∫f(√x)dx(积分限0到1)
=∫2uf(u)du(积分限0到1),
f(x)=e^x+x∫f(√x)dx(积分限0到1),
f(x)=e^x+x∫2uf(u)du(积分限0到1),
2xf(x)=2xe^x+2x^2∫2uf(u)du(积分限0到1),
对上式左右两边求积分积分限从0到1
∫2xf(x)dx=∫2xe^xdx+∫2uf(u)du*∫2x^2dx (积分限0到1),
∫2uf(u)dx=2xe^x-∫2e^xdx+∫2uf(u)dx*2x^3/3(积分限0到1),
∫2uf(u)dx=2xe^x-2e^x+∫2uf(u)dx*2x^3/3 |(0,1) (积分限0到1),
∫2uf(u)dx=2e-2e+2/3*∫2uf(u)dx+2 (积分限0到1),
即∫2xf(x)dx=6(积分限0到1),
所以f(x)=e^x+x∫f(√x)dx(积分限0到1)=e^x+6x
收起