f（1）=1/4,4f(x)*f(y)=f(x+y)+f(x-y),x,y属于R,则f(2010)=?如题,构建三角函数,

f（1）=1/4,4f(x)*f(y)=f(x+y)+f(x-y),x,y属于R,则f(2010)=?如题,构建三角函数,
f（1）=1/4,4f(x)*f(y)=f(x+y)+f(x-y),x,y属于R,则f(2010)=?
如题,构建三角函数,

f（1）=1/4,4f(x)*f(y)=f(x+y)+f(x-y),x,y属于R,则f(2010)=?如题,构建三角函数,

构造前需要知道三角函数的和差化积公式
cos(A+B)+cos(A-B)=2cosAcosB,
然后根据条件：f（1）=1/4,4f(x)*f(y)=f(x+y)+f(x-y)
构造 f(x)=(1/2)cos[(π/3)x]
此时,f(x)满足题设
∴ f(2010)=(1/2)cos(2010π/3)=(1/2)cos(670π)=1/2

先令x=1 y=0得4f(1)f(0)=f(1)+f(1)得f(0)=1/2
令x=1 y=1得4f(1)f(1)=f(2)+f(1)得f(2)=0
。。。。。
令x=4 y=1得 f(5)= =1/2
....周期为5
2010/5刚好除尽
答案是1/2

令x=1，y=0
得： 4f(1)f(0)=2f(1)
f(0)=2*1/4=1/2
令 y=1
得 4f(x)f(1)=f(x+1)+f(x-1)
即f(x)=f(x+1)+f(x-1) (1)
把x用x-1代换得
f(x-1)=f(x)+f(x-2) (2)
(1)+(2)式得 f(x+1)+f(x-2)=0 （...

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令x=1，y=0
得： 4f(1)f(0)=2f(1)
f(0)=2*1/4=1/2
令 y=1
得 4f(x)f(1)=f(x+1)+f(x-1)
即f(x)=f(x+1)+f(x-1) (1)
把x用x-1代换得
f(x-1)=f(x)+f(x-2) (2)
(1)+(2)式得 f(x+1)+f(x-2)=0 （3）
把x用x-3代入（3）得
f(x-3+1)+f(x-2-3)=0
即f(x-2)+f(x-5) (4)
把（4）代入（3）得
f(x+1)=f(x-5) （5）
把x用x+5代入（5）得
f(x+5+1)=f(x+5-5)
即f(x+6)=f(x)
所以f(x)是以6为周期的周期函数
所以f(2010)=f(6*335)=f(0)=1/2

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4f(x)*f(y)=f(x+y)+f(x-y)
令x=1,y=0代入得
f(0)=f(1)+f(1)=1/2
令x=1,y=1代入得
4f(1)f(1)=f(2)+f(0)
f(2)=-1/4
始终令y=1则
f(x+y)=4f(x)*f(y)-f(x-y)
f(x+1)=f(x)-f(x-1)
f(3)=f(2)-f(1)...

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4f(x)*f(y)=f(x+y)+f(x-y)
令x=1,y=0代入得
f(0)=f(1)+f(1)=1/2
令x=1,y=1代入得
4f(1)f(1)=f(2)+f(0)
f(2)=-1/4
始终令y=1则
f(x+y)=4f(x)*f(y)-f(x-y)
f(x+1)=f(x)-f(x-1)
f(3)=f(2)-f(1)
=-1/4-1/4=-1/2
f(4)=f(3)-f(2)=-1/4
f(5)=f(4)-f(3)=-1/4+1/2=1/4
f(6)=f(5)-f(4)=1/4+1/4=1/2
....
可见循环了啊
2010÷6=335，余数为0
因此f(2010)=f(0)=1/2

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令x=1，y=0，则4f(1)f(0)=f(1+0)+f(1-0)，又f(1)=0.25，故f(0)=0.5
令x=1，y=1，则4f(1)f(1)=f(1+1)+f(1-1)，f(2)=-0.25
令x=2，y=1，则4f(2)f(1)=f(2+1)+f(2-1)，f(3)=-0.5
令x=3，y=1，则4f(3)f(1)=f(3+1)+f(3-1)，f(4)=-0.25...

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令x=1，y=0，则4f(1)f(0)=f(1+0)+f(1-0)，又f(1)=0.25，故f(0)=0.5
令x=1，y=1，则4f(1)f(1)=f(1+1)+f(1-1)，f(2)=-0.25
令x=2，y=1，则4f(2)f(1)=f(2+1)+f(2-1)，f(3)=-0.5
令x=3，y=1，则4f(3)f(1)=f(3+1)+f(3-1)，f(4)=-0.25
令x=4，y=1，则4f(4)f(1)=f(4+1)+f(4-1)，f(5)=0.25
令x=5，y=1，则4f(5)f(1)=f(5+1)+f(5-1)，f(6)=0.5=f(0)
令x=6，y=1，则4f(6)f(1)=f(6+1)+f(6-1)，f(7)=0.25=f(1)
……周期为6
f(2010)=f(0)=0.5

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1. 取x=y=0 得4[f(0)]^2=2f(0)  得

   f(0)=1/2   或  f(0)=0(舍去,否则取x=1,y=0将得到f(1)=0)

2. 取x=n,y=1得 f(n)=f(n+1)+f(n-1)

   f(n+1)=f(n)-f(n-1)  且 f(0)=1/2,...

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   1. 取x=y=0 得4[f(0)]^2=2f(0)  得

      f(0)=1/2   或  f(0)=0(舍去,否则取x=1,y=0将得到f(1)=0)

   2. 取x=n,y=1得 f(n)=f(n+1)+f(n-1)

      f(n+1)=f(n)-f(n-1)  且 f(0)=1/2,f(1)=1/4

   3. 由(2)计算得

      n=0,1,2,3,4,5,6,7,8,...

        f(n)=1/2,1/4,-1/4,-1/2,-1/4,1/4,1/2,1/4,...

        得到 f(n+6)=f(n)    T=6是周期

   4.  f(2010)=f(335*6)=f(0)=1/2

    

   所以 f(2010)=1/2

   希望对你有点帮助！

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   y=1
   4f(x)f(1）=f(x+1)+f(x-1)
   f(x+1)+f(x-1)=1
   f(x+1)=-f(x-1)+1
   f(x+1)-1/2=-[f(x-1)-1/2]
   令g(x)=f(x+1)-1/2,上式为：
   g(x)=-g(x-2)
   g(x+2)=-g(x)=-[-g(x-2)]=g(x-2)
   所以函数g(x)是以4为周期的函...

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   y=1
   4f(x)f(1）=f(x+1)+f(x-1)
   f(x+1)+f(x-1)=1
   f(x+1)=-f(x-1)+1
   f(x+1)-1/2=-[f(x-1)-1/2]
   令g(x)=f(x+1)-1/2,上式为：
   g(x)=-g(x-2)
   g(x+2)=-g(x)=-[-g(x-2)]=g(x-2)
   所以函数g(x)是以4为周期的函数
   g(0)=f(1)-1/2=-1/4
   在4f(x)*f(y)=f(x+y)+f(x-y)中，
   令x=1,y=0得：
   4f(1)*f(0)=f(1)+f(1)
   ==>f(0)=2f(1)=1/2
   g(-1)=f(0)-1/2=0
   在4f(x)*f(y)=f(x+y)+f(x-y)中，
   令x=1,y=1得：
   4f(1)*f(1)=f(2)+f(0)
   1/4=f(2)+1/2==>
   f(2)= - 1/4
   g(1)=f(2)-1/2= - 3/4
   f(2010)=g(2009)+1/2=g(2008+1)+1/2=g(1)+1/2=-3/4+1/2=-1/4

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   令y=1，则4f(x)*f(1)=f(x+1)+f(x-1），因为f（1）=1/4，所以f(x)=f(x+1)+f(x-1）即f(x+1)=f(x)-f(x-1）.
   令x=x-1，由上式得f(x)=f(x-1)-f(x-2)；再令x=x-1，则f(x-1)=f(x-2)-f(x-3).
   上面后一个式子带入前一个得：f(x)=-f(x-3),同理可得f(x)=f(x-6)
   所...

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   令y=1，则4f(x)*f(1)=f(x+1)+f(x-1），因为f（1）=1/4，所以f(x)=f(x+1)+f(x-1）即f(x+1)=f(x)-f(x-1）.
   令x=x-1，由上式得f(x)=f(x-1)-f(x-2)；再令x=x-1，则f(x-1)=f(x-2)-f(x-3).
   上面后一个式子带入前一个得：f(x)=-f(x-3),同理可得f(x)=f(x-6)
   所以f(2010)=f(335*6)=f(0).
   在原式中，令y=0，则4f(x)*f(0)=2f(x)且f(x)不为零（因为若f(x)=0，则f(1)=1/4矛盾），所以解得f(0)=1/2，即f(2010)=1/2.
   答案保证正确，过程思路十分详细清晰，希望采纳。

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