不等式的证明,高中数学有2道,解答满意者双分,呵呵
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 02:37:28
不等式的证明,高中数学有2道,解答满意者双分,呵呵
不等式的证明,高中数学
有2道,解答满意者双分,呵呵
不等式的证明,高中数学有2道,解答满意者双分,呵呵
(1).
(反证法)假设a,b,c不全为正数(显然也不能为0),
不妨设a,b＜0,c＞0(只能是两负一正)
依题意得c＞-(a＋b),c＜-ab/(a＋b)
则-ab/(a＋b)＞-(a＋b)
化简得a²＋b²＋ab＜0(显然不成立)
所以假设不成立,a,b,c应全为正数.
(2).
有均值不等式
(a＋b＋c)/3≥(abc)^(1/3)
得
1/a³＋1/b³＋1/b³＋abc≥3/abc＋abc≥2√3
当且仅当abc＝√3且a＝b＝c时,等号取得.
1.构造一元三次方程，将a,b,c看作一元三次方程的三个实根，由牛顿公式构造出该三次方程：
(x-a)(x-b)(x-c)=0
上式也即x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=0
考虑三次函数f(x)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc
若x<=0，则显然有f(x)<0，所以f(x)在(-∞,0]上必没有零点，而我们知...
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1.构造一元三次方程，将a,b,c看作一元三次方程的三个实根，由牛顿公式构造出该三次方程：
(x-a)(x-b)(x-c)=0
上式也即x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=0
考虑三次函数f(x)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc
若x<=0，则显然有f(x)<0，所以f(x)在(-∞,0]上必没有零点，而我们知道这个三次函数有三个零点a,b,c，而a,b,c必定不在(-∞,0]上，所以a,b,c只能都是正数。
2.这题是2008年江苏高考题选做题中的一道题，其实很简单的，用两次均值不等式即可：原式左边=1/a^3+1/b^3+1/c^3+abc>=3*三次根号[1/(a^3b^3c^3)]+abc=3/abc+abc>=2√3
证毕。
收起
第一题无论反证还是其他证法都比较简单
第二题均值不等式1/a^3+1/b^3+1/c^3>=3*三次根号下（1/（a^3*b^3*c^3））=3/abc
然后再用一次3/abc+abc>=2*根号下(3/abc*abc）=2根3