在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,E为AC的中点,ED.CB延长线交于一点F,求证：AC*DF=BC*CF
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 09:49:50
在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,E为AC的中点,ED.CB延长线交于一点F,求证：AC*DF=BC*CF
在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,E为AC的中点,ED.CB延长线交于一点F,求证：AC*DF=BC*CF
在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,E为AC的中点,ED.CB延长线交于一点F,求证：AC*DF=BC*CF
由CD⊥AB,E是AC的中点,得,DE=AE=AC/2,
所以,角A=角ADE,
因为角QDE=角BDF,所以,角A=角BDF
由CD⊥AB,∠ACB=90°可得,角A=角BCD,
所以,角BCD=角BDF
而角FBD=角BCD+角CDB=角BDF+角CDB=角CDF,角F为公共角,
所以,三角形CDF相似三角形DBF,
所以,CD：BD=CF：DF.
由CD⊥AB,∠ACB=90°可得,三角形ABC相似于三角形CBD
所以,AC：CD=BC：BD,即AC：BC=CD：BD,
于是,AC：BC=CF：DF
即AC*DF=BC*CF.
因为△ADC为直角△，且E为AC中点，则易得AE=DE=CE，
所以∠BCD=∠A=∠FDA，∠B=∠ACD=∠FDC，
所以△FDC与△FBD相似，则DF：DC=BF：BD（*），CF：DF=DF：BF（**），
直角△ACB与直角△BDC相似，则AC：BC=DC：BD（***）
（*）变形得，DF：BF=DC：BD，由（**）可得CF：DF=DC：BD
...
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因为△ADC为直角△，且E为AC中点，则易得AE=DE=CE，
所以∠BCD=∠A=∠FDA，∠B=∠ACD=∠FDC，
所以△FDC与△FBD相似，则DF：DC=BF：BD（*），CF：DF=DF：BF（**），
直角△ACB与直角△BDC相似，则AC：BC=DC：BD（***）
（*）变形得，DF：BF=DC：BD，由（**）可得CF：DF=DC：BD
则又由（***）得AC：BC=CF：DF
所以AC*DF=BC*CF
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