证：(a^n+b^n)/2≥((a+b)/2)^n注意是≥((a+b)/2)^n 而不是>=[(a+b/2)]^k
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 14:10:02
证：(a^n+b^n)/2≥((a+b)/2)^n注意是≥((a+b)/2)^n 而不是>=[(a+b/2)]^k
证：(a^n+b^n)/2≥((a+b)/2)^n
注意是≥((a+b)/2)^n 而不是>=[(a+b/2)]^k
证：(a^n+b^n)/2≥((a+b)/2)^n注意是≥((a+b)/2)^n 而不是>=[(a+b/2)]^k
第一步,当n=1时,不等式显然成立.
第二步,假设n=k时,不等式成立.即有(a^k+b^k)/2>=[(a+b/2)]^k
那么,两边同时乘以（a+b/2),可得
（a+b/2)(a^k+b^k)/2>=（[(a+b/2)]^（k+1）
左边=[a^(k+1)+ab^k+a^kb/2+b^(k+1)/2]/2
>=[a^(k+1)+b^(k+1)]/2
即n=k+1时成立.
第三步,由一和二可知,n=1时成立,则n=2时成立,则n=3时成立……类推,对任意n不等式都成立.
其实有关自然数，而且感觉无法直接下手的题目，很多都可以用数学归纳法
用数学归纳法太保守了,应该多点想综合法,可以开阔思维.
先用减法证明对于任意a>0,b>0,0≤k≤n,
a^n+b^n≥a^k*b^(n-k)+a^(n-k)*b^k
然后2(a+b)^n=(a+b)^n+(b+a)^n=(a^n+b^n)+1Cn(a^(n-1)b+b^(n-1)a……+(b^n+a^n)≤(1+1Cn+2Cn+……+nCn)a^n+b^n=2^n(a^...
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用数学归纳法太保守了,应该多点想综合法,可以开阔思维.
先用减法证明对于任意a>0,b>0,0≤k≤n,
a^n+b^n≥a^k*b^(n-k)+a^(n-k)*b^k
然后2(a+b)^n=(a+b)^n+(b+a)^n=(a^n+b^n)+1Cn(a^(n-1)b+b^(n-1)a……+(b^n+a^n)≤(1+1Cn+2Cn+……+nCn)a^n+b^n=2^n(a^n+b^n)
既2(a+b)^n≤2^n(a^n+b^n)
最后化简一下就得到答案了.
(有不明的可以再问我)
难道我的答案还不够详细吗?
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