已知函数f(x)=|sinx|,若函数f(x)=|sinx|的图像与直线y=kx(k>0)有且仅有三个公共点,这三个公共点的横坐标的最大值为a,求证cosα/（sinα+sin3α）=（1+α^2)/4α

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/29 04:35:06

已知函数f(x)=|sinx|,若函数f(x)=|sinx|的图像与直线y=kx(k>0)有且仅有三个公共点,这三个公共点的横坐标的最大值为a,求证cosα/（sinα+sin3α）=（1+α^2)/

已知函数f(x)=|sinx|,若函数f(x)=|sinx|的图像与直线y=kx(k>0)有且仅有三个公共点,这三个公共点的横坐标的最大值为a,求证cosα/（sinα+sin3α）=（1+α^2)/4α
由图可知,直线与函数图象相切于第三个交点（这个区间上函数为f(x)=-sinx）,
所以k=-sina/a=cosa,
由于sin^2(a)+cos^2(a)=1,所以cosa=1/√(a^2+1),sina=a/√(a^2+1)
所以cosa/(sina+sin3a)=cosa/(2sin(2a)cosa)=1/(4sinacosa)=(a^2+1)/4a

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