已知正数a.b.满足a+b+ab=8,求ab的最大值

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/31 15:24:58
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已知正数a.b.满足a+b+ab=8,求ab的最大值

已知正数a.b.满足a+b+ab=8,求ab的最大值
a+b≥2√ab
∴8≥ab+2√ab=(1+√ab)^2-1
即(1+√ab)^2≤9
1+√ab≤3
ab≤4
当且仅当a=b=2时等号成立

因为 a+b>=2sqrt(ab)
sqrt(ab)表示根号ab
所以8=a+b+ab>=ab+2sqrt(ab)=（sqrt(ab)+1）^2-1
所以
（sqrt(ab)+1）^2<=9
-3<=sqrt(ab)+1<=3
-4<=sqrt(ab)<=2
又因为sqrt(ab)>=0
所以
0<=sqrt(ab)<=2
0<=ab<=4
ab的最大值4

a+b大于等于2√ab
a+b+ab大于等于2√ab+ab
所以2√ab+ab小于等于8
即（√ab+4）×（√ab-2）小于等于0
所欲√ab大于0，小于等于2
ab最大值为4

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